登录
一、选择题(每题 4 分，共 16 分)
1. 下列分解因式正确的是()
A. $x^{3}-x=x(x^{2}-1)$
B. $m^{2}+m+\frac{1}{4}=(m+\frac{1}{2})^{2}$
C. $3a^{2}x - 6bx + 3x = 3x(a^{2} - 2b)$
D. $-x^{2}+y^{2}=(x + y)(x - y)$
1. 下列分解因式正确的是()
A. $x^{3}-x=x(x^{2}-1)$
B. $m^{2}+m+\frac{1}{4}=(m+\frac{1}{2})^{2}$
C. $3a^{2}x - 6bx + 3x = 3x(a^{2} - 2b)$
D. $-x^{2}+y^{2}=(x + y)(x - y)$
答案
解：
选项A：$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1)$，原式未分解彻底，故A错误；
选项B：$m^2 + m + \frac{1}{4} = (m+\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，故B正确；
选项C：$3a^2x - 6bx + 3x = 3x(a^2 - 2b + 1)$，原式漏加常数项1，故C错误；
选项D：$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2 = (y+x)(y-x)$，原式符号错误，故D错误。
综上，答案选B。
选项A：$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1)$，原式未分解彻底，故A错误；
选项B：$m^2 + m + \frac{1}{4} = (m+\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，故B正确；
选项C：$3a^2x - 6bx + 3x = 3x(a^2 - 2b + 1)$，原式漏加常数项1，故C错误；
选项D：$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2 = (y+x)(y-x)$，原式符号错误，故D错误。
综上，答案选B。
2. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()
A.$16x^{2}+1$
B.$x^{2}+2x - 1$
C.$a^{2}+2ab - 4b^{2}$
D.$x^{2}-x+\frac{1}{4}$
A.$16x^{2}+1$
B.$x^{2}+2x - 1$
C.$a^{2}+2ab - 4b^{2}$
D.$x^{2}-x+\frac{1}{4}$
答案
D
解析
完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，需满足：①是三项式；②两个平方项符号相同；③中间项为两平方项底数乘积的2倍（正负均可）。
选项A：仅两项，不符合；
选项B：常数项为负，两平方项符号不同，不符合；
选项C：$-4b^2$为负，两平方项符号不同，不符合；
选项D：$x^2-x+\frac{1}{4}=x^2-2· x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式。
选项A：仅两项，不符合；
选项B：常数项为负，两平方项符号不同，不符合；
选项C：$-4b^2$为负，两平方项符号不同，不符合；
选项D：$x^2-x+\frac{1}{4}=x^2-2· x·\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式。
3. 若关于 $x$ 的多项式 $x^{2}-px - 6$ 含有因式 $(x - 3)$，则实数 $p$ 的值为()
A.1
B.$-5$
C.$-1$
D.5
A.1
B.$-5$
C.$-1$
D.5
答案
A
解析
因为多项式$x^2 - px - 6$含有因式$(x - 3)$，所以当$x=3$时，该多项式的值为0。将$x=3$代入多项式得：
$3^2 - 3p - 6 = 0$，
即$9 - 3p - 6 = 0$，
化简得$3 - 3p = 0$，
解得$p=1$。
$3^2 - 3p - 6 = 0$，
即$9 - 3p - 6 = 0$，
化简得$3 - 3p = 0$，
解得$p=1$。
4. $4^{24}-1$ 能被 60 到 70 之间的某两个整数整除，则这两个数是()
A.61 和 63
B.63 和 65
C.65 和 67
D.64 和 67
A.61 和 63
B.63 和 65
C.65 和 67
D.64 和 67
答案
B
解析
利用平方差公式逐步因式分解：
$4^{24}-1=(4^{12})^2-1^2=(4^{12}-1)(4^{12}+1)$
$=[(4^6)^2-1^2](4^{12}+1)=(4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1)$
$=[(4^3)^2-1^2](4^6+1)(4^{12}+1)=(4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)$
计算得$4^3=64$，则$4^3-1=63$，$4^3+1=65$，63和65均在60到70之间，故$4^{24}-1$能被这两个数整除。
$4^{24}-1=(4^{12})^2-1^2=(4^{12}-1)(4^{12}+1)$
$=[(4^6)^2-1^2](4^{12}+1)=(4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1)$
$=[(4^3)^2-1^2](4^6+1)(4^{12}+1)=(4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)$
计算得$4^3=64$，则$4^3-1=63$，$4^3+1=65$，63和65均在60到70之间，故$4^{24}-1$能被这两个数整除。
二、填空题(每空 4 分，共 24 分)
5. 多项式 $36ab^{2}c + 12abc$ 的公因式是.
5. 多项式 $36ab^{2}c + 12abc$ 的公因式是.
答案
解：
系数36和12的最大公约数是12；
多项式中相同字母为a、b、c，它们的最低次幂分别为$a^1$、$b^1$、$c^1$；
综上，多项式$36ab^{2}c + 12abc$的公因式是$\boldsymbol{12abc}$。
系数36和12的最大公约数是12；
多项式中相同字母为a、b、c，它们的最低次幂分别为$a^1$、$b^1$、$c^1$；
综上，多项式$36ab^{2}c + 12abc$的公因式是$\boldsymbol{12abc}$。
6. 分解因式：$x^{2}+xy=$；$x^{3}-4x^{2}+4x=$.
答案
$x(x+y)$；$x(x-2)^2$
解析
1. 对于$x^{2}+xy$，提取公因式$x$，得$x(x+y)$；
2. 对于$x^{3}-4x^{2}+4x$，先提取公因式$x$，得$x(x^{2}-4x+4)$，再利用完全平方公式，将$x^{2}-4x+4$分解为$(x-2)^{2}$，最终结果为$x(x-2)^{2}$。
2. 对于$x^{3}-4x^{2}+4x$，先提取公因式$x$，得$x(x^{2}-4x+4)$，再利用完全平方公式，将$x^{2}-4x+4$分解为$(x-2)^{2}$，最终结果为$x(x-2)^{2}$。
7. 计算：$-5652×0.13 + 4652×0.13=$.
答案
-130
解析
利用乘法分配律的逆运算提取公因式0.13，原式=0.13×(-5652+4652)=0.13×(-1000)=-130。
8. 若 $x + y = 5$，$x^{2}-y^{2}=3$，则 $x - y=$.
答案
$\frac{3}{5}$
解析
根据平方差公式 $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，已知 $x + y = 5$，$x^2 - y^2 = 3$，代入得 $3 = 5(x - y)$，解得 $x - y = \frac{3}{5}$。
9. 如果多项式 $mx + A$ 可分解为 $m(x - y)$，则 $A$ 为.
答案
$-my$
解析
根据整式乘法，将$m(x - y)$展开得$mx - my$。由于$mx + A = mx - my$，因此$A = -my$。
10. 已知 $x - y = 2$，$xy=\frac{1}{2}$，那么 $x^{3}y + 3x^{2}y^{2}+xy^{3}$ 的值为.
答案
$\frac{13}{4}$
解析
先对原式因式分解：
$x^{3}y + 3x^{2}y^{2}+xy^{3}=xy(x^{2}+3xy+y^{2})$
利用完全平方公式变形：$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy$，代入得：
$x^{2}+3xy+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy+3xy=(x-y)^{2}+5xy$
将$x - y = 2$，$xy=\frac{1}{2}$代入：
原式$=\frac{1}{2}×[2^{2}+5×\frac{1}{2}]=\frac{1}{2}×(4+\frac{5}{2})=\frac{13}{4}$
$x^{3}y + 3x^{2}y^{2}+xy^{3}=xy(x^{2}+3xy+y^{2})$
利用完全平方公式变形：$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy$，代入得：
$x^{2}+3xy+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy+3xy=(x-y)^{2}+5xy$
将$x - y = 2$，$xy=\frac{1}{2}$代入：
原式$=\frac{1}{2}×[2^{2}+5×\frac{1}{2}]=\frac{1}{2}×(4+\frac{5}{2})=\frac{13}{4}$
三、解答题（共 60 分）
11. （每题 6 分，共 36 分）把下列各式分解因式：
（1）$2x^{2}-18$；
（2）$(a + b)^{2}-6(a + b)+9$；
（3）$3m^{2}n - 12mn + 12n$；
（4）$a^{2}(m - n)+9(n - m)$；
（5）$81x^{4}-16$；
（6）$(m^{2}+5)^{2}-12(m^{2}+5)+36$.
11. （每题 6 分，共 36 分）把下列各式分解因式：
（1）$2x^{2}-18$；
（2）$(a + b)^{2}-6(a + b)+9$；
（3）$3m^{2}n - 12mn + 12n$；
（4）$a^{2}(m - n)+9(n - m)$；
（5）$81x^{4}-16$；
（6）$(m^{2}+5)^{2}-12(m^{2}+5)+36$.
答案
解：
（1）$2x^{2}-18$
$=2(x^{2}-9)$
$=2(x+3)(x-3)$
（2）$(a + b)^{2}-6(a + b)+9$
$=[(a+b)-3]^{2}$
$=(a+b-3)^{2}$
（3）$3m^{2}n - 12mn + 12n$
$=3n(m^{2}-4m+4)$
$=3n(m-2)^{2}$
（4）$a^{2}(m - n)+9(n - m)$
$=a^{2}(m-n)-9(m-n)$
$=(m-n)(a^{2}-9)$
$=(m-n)(a+3)(a-3)$
（5）$81x^{4}-16$
$=(9x^{2}+4)(9x^{2}-4)$
$=(9x^{2}+4)(3x+2)(3x-2)$
（6）$(m^{2}+5)^{2}-12(m^{2}+5)+36$
$=[(m^{2}+5)-6]^{2}$
$=(m^{2}-1)^{2}$
$=[(m+1)(m-1)]^{2}$
$=(m+1)^{2}(m-1)^{2}$
（1）$2x^{2}-18$
$=2(x^{2}-9)$
$=2(x+3)(x-3)$
（2）$(a + b)^{2}-6(a + b)+9$
$=[(a+b)-3]^{2}$
$=(a+b-3)^{2}$
（3）$3m^{2}n - 12mn + 12n$
$=3n(m^{2}-4m+4)$
$=3n(m-2)^{2}$
（4）$a^{2}(m - n)+9(n - m)$
$=a^{2}(m-n)-9(m-n)$
$=(m-n)(a^{2}-9)$
$=(m-n)(a+3)(a-3)$
（5）$81x^{4}-16$
$=(9x^{2}+4)(9x^{2}-4)$
$=(9x^{2}+4)(3x+2)(3x-2)$
（6）$(m^{2}+5)^{2}-12(m^{2}+5)+36$
$=[(m^{2}+5)-6]^{2}$
$=(m^{2}-1)^{2}$
$=[(m+1)(m-1)]^{2}$
$=(m+1)^{2}(m-1)^{2}$
