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19. （10 分）如图，四边形 $ABCD$ 是直角梯形，$∠ B = 90°$，$AB = 8\ \mathrm{cm}$，$AD = 24\ \mathrm{cm}$，$BC = 26\ \mathrm{cm}$，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $D$ 运动，点 $Q$ 从点 $C$ 出发，以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $B$ 运动，其中一动点达到端点时，另一动点随之停止运动.
（1）从运动开始，经过多少时间，四边形 $PQCD$ 是平行四边形？
（2）从运动开始，经过多少时间，四边形 $PQCD$ 成为等腰梯形？
（1）从运动开始，经过多少时间，四边形 $PQCD$ 是平行四边形？
（2）从运动开始，经过多少时间，四边形 $PQCD$ 成为等腰梯形？
答案
解：（1）设经过$ t $秒，四边形$ PQCD $是平行四边形。
∵ 四边形$ ABCD $是直角梯形，$ AD // BC $，
∴ 当$ PD=QC $时，四边形$ PQCD $是平行四边形。
由题意得：$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ PD = (24 - t)\ \mathrm{cm} $，$ QC = 3t\ \mathrm{cm} $，
∴ $ 24 - t = 3t $，
解得$ t=6 $。
答：经过6秒，四边形$ PQCD $是平行四边形。
（2）设经过$ t $秒，四边形$ PQCD $是等腰梯形。
过点$ D $作$ DF ⊥ BC $于$ F $，过点$ P $作$ PE ⊥ BC $于$ E $，
则四边形$ ABFD $是矩形，$ BF=AD=24\ \mathrm{cm} $，
∴ $ CF=BC - BF=26-24=2\ \mathrm{cm} $。
∵ 四边形$ PQCD $是等腰梯形，
∴ $ QC - PD=2CF $，
即$ 3t - (24 - t)=4 $，
解得$ t=7 $。
答：经过7秒，四边形$ PQCD $是等腰梯形。
∵ 四边形$ ABCD $是直角梯形，$ AD // BC $，
∴ 当$ PD=QC $时，四边形$ PQCD $是平行四边形。
由题意得：$ AP = t\ \mathrm{cm} $，$ PD = (24 - t)\ \mathrm{cm} $，$ QC = 3t\ \mathrm{cm} $，
∴ $ 24 - t = 3t $，
解得$ t=6 $。
答：经过6秒，四边形$ PQCD $是平行四边形。
（2）设经过$ t $秒，四边形$ PQCD $是等腰梯形。
过点$ D $作$ DF ⊥ BC $于$ F $，过点$ P $作$ PE ⊥ BC $于$ E $，
则四边形$ ABFD $是矩形，$ BF=AD=24\ \mathrm{cm} $，
∴ $ CF=BC - BF=26-24=2\ \mathrm{cm} $。
∵ 四边形$ PQCD $是等腰梯形，
∴ $ QC - PD=2CF $，
即$ 3t - (24 - t)=4 $，
解得$ t=7 $。
答：经过7秒，四边形$ PQCD $是等腰梯形。
20. (10 分)【问题研究】我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整.如图①，点 $E$，$F$ 分别在正方形 $ABCD$ 的边 $BC$，$CD$ 上，$∠ EAF = 45°$，连接 $EF$，则 $EF = BE + DF$，试说明理由.
(1)【思路梳理】把 $△ ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 至 $△ ADG$，可使 $AB$ 与 $AD$ 重合，再证 $△ AFE≌$，易得 $EF =$$= BE + DF$.
(2)【类比引申】如图②，四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$∠ BAD = 90°$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CD$ 上，$∠ EAF = 45°$.若 $∠ B$，$∠ D$ 都不是直角，试探究当 $∠ B$ 与 $∠ D$ 满足怎样的关系时，仍有 $EF = BE + DF$.
(3)【联想拓展】如图②，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90°$，$AB = AC$，点 $D$，$E$ 均在边 $BC$ 上，且 $∠ DAE = 45°$.猜想 $BD$，$DE$，$EC$ 满足的等量关系，并写出推理过程.
(1)【思路梳理】把 $△ ABE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 至 $△ ADG$，可使 $AB$ 与 $AD$ 重合，再证 $△ AFE≌$，易得 $EF =$$= BE + DF$.
(2)【类比引申】如图②，四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$∠ BAD = 90°$，点 $E$，$F$ 分别在边 $BC$，$CD$ 上，$∠ EAF = 45°$.若 $∠ B$，$∠ D$ 都不是直角，试探究当 $∠ B$ 与 $∠ D$ 满足怎样的关系时，仍有 $EF = BE + DF$.
(3)【联想拓展】如图②，在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90°$，$AB = AC$，点 $D$，$E$ 均在边 $BC$ 上，且 $∠ DAE = 45°$.猜想 $BD$，$DE$，$EC$ 满足的等量关系，并写出推理过程.
答案
解：(1) $\boldsymbol{△AFG}$；$\boldsymbol{FG}$
(2) 当$\boldsymbol{∠B + ∠D = 180°}$时，仍有$EF = BE + DF$。
证明：把$△ABE$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$△ADG$，
则$AG = AE$，$∠DAG = ∠BAE$，$DG = BE$，$∠ADG = ∠B$。
∵ $∠B + ∠D = 180°$，
∴ $∠ADG + ∠D = 180°$，即点$G$、$D$、$F$共线。
∵ $∠EAF = 45°$，$∠BAD = 90°$，
∴ $∠BAE + ∠DAF = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠DAG + ∠DAF = ∠GAF = 45° = ∠EAF$。
在$△AEF$和$△AGF$中，
$\{\begin{array}{l} AE = AG \\ ∠EAF = ∠GAF \\ AF = AF \end{array} $
∴ $△AEF ≌ △AGF$（SAS），
∴ $EF = FG = DG + DF = BE + DF$。
(3) 猜想：$\boldsymbol{BD^2 + EC^2 = DE^2}$。
证明：把$△ABD$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$△ACG$，使$AB$与$AC$重合，
则$AD = AG$，$BD = CG$，$∠BAD = ∠CAG$，$∠B = ∠ACG$。
∵ $∠BAC = 90°$，$AB = AC$，
∴ $∠B = ∠ACB = 45°$，
∴ $∠ACG = 45°$，
∴ $∠ECG = ∠ACB + ∠ACG = 45° + 45° = 90°$。
∵ $∠DAE = 45°$，$∠BAC = 90°$，
∴ $∠BAD + ∠CAE = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠CAG + ∠CAE = ∠GAE = 45° = ∠DAE$。
在$△ADE$和$△AGE$中，
$\{\begin{array}{l} AD = AG \\ ∠DAE = ∠GAE \\ AE = AE \end{array} $
∴ $△ADE ≌ △AGE$（SAS），
∴ $DE = GE$。
在$Rt△ECG$中，由勾股定理得：$CG^2 + EC^2 = GE^2$，
∵ $CG = BD$，$GE = DE$，
∴ $BD^2 + EC^2 = DE^2$。
(2) 当$\boldsymbol{∠B + ∠D = 180°}$时，仍有$EF = BE + DF$。
证明：把$△ABE$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$△ADG$，
则$AG = AE$，$∠DAG = ∠BAE$，$DG = BE$，$∠ADG = ∠B$。
∵ $∠B + ∠D = 180°$，
∴ $∠ADG + ∠D = 180°$，即点$G$、$D$、$F$共线。
∵ $∠EAF = 45°$，$∠BAD = 90°$，
∴ $∠BAE + ∠DAF = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠DAG + ∠DAF = ∠GAF = 45° = ∠EAF$。
在$△AEF$和$△AGF$中，
$\{\begin{array}{l} AE = AG \\ ∠EAF = ∠GAF \\ AF = AF \end{array} $
∴ $△AEF ≌ △AGF$（SAS），
∴ $EF = FG = DG + DF = BE + DF$。
(3) 猜想：$\boldsymbol{BD^2 + EC^2 = DE^2}$。
证明：把$△ABD$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$△ACG$，使$AB$与$AC$重合，
则$AD = AG$，$BD = CG$，$∠BAD = ∠CAG$，$∠B = ∠ACG$。
∵ $∠BAC = 90°$，$AB = AC$，
∴ $∠B = ∠ACB = 45°$，
∴ $∠ACG = 45°$，
∴ $∠ECG = ∠ACB + ∠ACG = 45° + 45° = 90°$。
∵ $∠DAE = 45°$，$∠BAC = 90°$，
∴ $∠BAD + ∠CAE = 90° - 45° = 45°$，
∴ $∠CAG + ∠CAE = ∠GAE = 45° = ∠DAE$。
在$△ADE$和$△AGE$中，
$\{\begin{array}{l} AD = AG \\ ∠DAE = ∠GAE \\ AE = AE \end{array} $
∴ $△ADE ≌ △AGE$（SAS），
∴ $DE = GE$。
在$Rt△ECG$中，由勾股定理得：$CG^2 + EC^2 = GE^2$，
∵ $CG = BD$，$GE = DE$，
∴ $BD^2 + EC^2 = DE^2$。
