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1. 行程问题
(1) 三个基本量间的关系：路程 = × 。
(2) 基本类型有：
① 相遇问题(或相向问题)：
Ⅰ. 基本量及关系：相遇路程 = 速度和 × 相遇时间；
Ⅱ. 寻找相等关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地距离。
② 追及问题：
Ⅰ. 基本量及关系：追及路程 = 速度差 × 追及时间；
Ⅱ. 寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程 + 两者相距距离 = 追者走的路程。
③ 航行问题：
Ⅰ. 基本量及关系：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度，顺水速度 - 逆水速度 = 2 × 水速；
Ⅱ. 寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑。
2. 工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 。基本关系式：
(1) 总工作量 = 工作效率 × ；
(2) 总工作量 = 各单位工作量之和。
(1) 三个基本量间的关系：路程 = × 。
(2) 基本类型有：
① 相遇问题(或相向问题)：
Ⅰ. 基本量及关系：相遇路程 = 速度和 × 相遇时间；
Ⅱ. 寻找相等关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地距离。
② 追及问题：
Ⅰ. 基本量及关系：追及路程 = 速度差 × 追及时间；
Ⅱ. 寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程 + 两者相距距离 = 追者走的路程。
③ 航行问题：
Ⅰ. 基本量及关系：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，逆流速度 = 静水速度 - 水流速度，顺水速度 - 逆水速度 = 2 × 水速；
Ⅱ. 寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑。
2. 工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 。基本关系式：
(1) 总工作量 = 工作效率 × ；
(2) 总工作量 = 各单位工作量之和。
答案
(1) 速度，时间；
(2) 1，工作时间。
(2) 1，工作时间。
解析
(1) 根据行程问题的基本知识，路程、速度和时间之间的关系可以表示为：路程 = 速度 × 时间。
(2) 在工程问题中，如果题目没有明确指明总工作量，为简化计算，我们通常把总工作量设为1（或整体1），以此为基础进行计算和推导，所以总工作量 = 工作效率 × 工作时间。
(2) 在工程问题中，如果题目没有明确指明总工作量，为简化计算，我们通常把总工作量设为1（或整体1），以此为基础进行计算和推导，所以总工作量 = 工作效率 × 工作时间。
重难点 1 行程问题
【典例 1】如图，已知 $ A $，$ B $ 两点在数轴上，点 $ A $ 表示的数为 $-10$，$ OB = 2OA $，点 $ M $ 以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度从点 $ A $ 向右运动。点 $ N $ 以每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度从点 $ B $ 向左运动（点 $ M $，$ N $ 同时出发），经过 $ 5 $ 或 $\frac{15}{2}$ 秒，点 $ M $，$ N $ 到原点 $ O $ 的距离相等。
解析：$\because$ 点 $ A $ 表示的数为 $-10$，$ OB = 2OA $，$\therefore OB = 2OA = 20$，
$\therefore$ 点 $ B $ 表示的数为 $ 20 $，
设经过 $ x $ 秒，点 $ M $，$ N $ 到原点 $ O $ 的距离相等，则点 $ M $ 表示的数为 $ x - 10 $，点 $ N $ 表示的数为 $ 20 - 3x $，
根据题意，得 $ |x - 10| = |20 - 3x| $，
$\therefore x - 10 = 20 - 3x $ 或 $ x - 10 = -(20 - 3x) $，解得 $ x = \frac{15}{2} $ 或 $ x = 5 $，
即经过 $ 5 $ 秒或 $\frac{15}{2}$ 秒后，$ M $，$ N $ 到原点 $ O $ 的距离相等；故答案为 $ 5 $ 或 $\frac{15}{2}$ 。
【典例 1】如图，已知 $ A $，$ B $ 两点在数轴上，点 $ A $ 表示的数为 $-10$，$ OB = 2OA $，点 $ M $ 以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度从点 $ A $ 向右运动。点 $ N $ 以每秒 $ 3 $ 个单位长度的速度从点 $ B $ 向左运动（点 $ M $，$ N $ 同时出发），经过 $ 5 $ 或 $\frac{15}{2}$ 秒，点 $ M $，$ N $ 到原点 $ O $ 的距离相等。
解析：$\because$ 点 $ A $ 表示的数为 $-10$，$ OB = 2OA $，$\therefore OB = 2OA = 20$，
$\therefore$ 点 $ B $ 表示的数为 $ 20 $，
设经过 $ x $ 秒，点 $ M $，$ N $ 到原点 $ O $ 的距离相等，则点 $ M $ 表示的数为 $ x - 10 $，点 $ N $ 表示的数为 $ 20 - 3x $，
根据题意，得 $ |x - 10| = |20 - 3x| $，
$\therefore x - 10 = 20 - 3x $ 或 $ x - 10 = -(20 - 3x) $，解得 $ x = \frac{15}{2} $ 或 $ x = 5 $，
即经过 $ 5 $ 秒或 $\frac{15}{2}$ 秒后，$ M $，$ N $ 到原点 $ O $ 的距离相等；故答案为 $ 5 $ 或 $\frac{15}{2}$ 。
答案
$5$ 或 $\frac{15}{2}$
解析
已知点 $A$ 表示的数为 $-10$， $OB = 2OA = 20$，所以点 $B$ 表示的数为 $20$。
设经过 $x$ 秒，点 $M$ 和点 $N$ 到原点 $O$ 的距离相等。
点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从点 $A$ 向右运动，因此点 $M$ 表示的数为 $-10 + x$。
点 $N$ 以每秒 $3$ 个单位长度的速度从点 $B$ 向左运动，因此点 $N$ 表示的数为 $20 - 3x$。
根据题意，点 $M$ 和点 $N$ 到原点 $O$ 的距离相等，即：
$| -10 + x | = | 20 - 3x |$
解方程：
$-10 + x = 20 - 3x \quad \mathrm{或} \quad -10 + x = -(20 - 3x)$
解得：
$x = \frac{15}{2} \quad \mathrm{或} \quad x = 5$
经过 $5$ 秒或 $\frac{15}{2}$ 秒后，点 $M$ 和点 $N$ 到原点 $O$ 的距离相等。
设经过 $x$ 秒，点 $M$ 和点 $N$ 到原点 $O$ 的距离相等。
点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从点 $A$ 向右运动，因此点 $M$ 表示的数为 $-10 + x$。
点 $N$ 以每秒 $3$ 个单位长度的速度从点 $B$ 向左运动，因此点 $N$ 表示的数为 $20 - 3x$。
根据题意，点 $M$ 和点 $N$ 到原点 $O$ 的距离相等，即：
$| -10 + x | = | 20 - 3x |$
解方程：
$-10 + x = 20 - 3x \quad \mathrm{或} \quad -10 + x = -(20 - 3x)$
解得：
$x = \frac{15}{2} \quad \mathrm{或} \quad x = 5$
经过 $5$ 秒或 $\frac{15}{2}$ 秒后，点 $M$ 和点 $N$ 到原点 $O$ 的距离相等。
【对点训练】
1. 如图，点 $ A $，$ B $ 在数轴上表示的数分别是 $-20$ 和 $ 40 $，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上移动，图中的三条线段 $ AB $，$ AC $ 和 $ BC $，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的 $ 2 $ 倍时，则点 $ C $ 在数轴上表示的数为 。
1. 如图，点 $ A $，$ B $ 在数轴上表示的数分别是 $-20$ 和 $ 40 $，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上移动，图中的三条线段 $ AB $，$ AC $ 和 $ BC $，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的 $ 2 $ 倍时，则点 $ C $ 在数轴上表示的数为 。
答案
0或10或20
解析
设点C表示的数为x，AB=40-(-20)=60，AC=x-(-20)=x+20，BC=40-x。分情况讨论：
1. 若AB=2AC，则60=2(x+20)，解得x=10；
2. 若AB=2BC，则60=2(40-x)，解得x=10；
3. 若AC=2BC，则x+20=2(40-x)，解得x=20；
4. 若BC=2AC，则40-x=2(x+20)，解得x=0。
综上，x=0或10或20。
1. 若AB=2AC，则60=2(x+20)，解得x=10；
2. 若AB=2BC，则60=2(40-x)，解得x=10；
3. 若AC=2BC，则x+20=2(40-x)，解得x=20；
4. 若BC=2AC，则40-x=2(x+20)，解得x=0。
综上，x=0或10或20。
