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1. 已知 $ x = 2y $，则分式 $ \dfrac{x - y}{x}(x ≠ 0) $ 的值为(
A.$ -\dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ -1 $
D.$ 1 $
B
)A.$ -\dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ -1 $
D.$ 1 $
答案
1. B
解析
【分析】
这道题是分式求值问题，已知$x = 2y$的等量关系，解题思路是利用代入消元法，将分式中的$x$用$2y$替换，把分式转化为只含$y$的式子，再通过约分计算出结果。首先明确因为$x≠0$，所以$y≠0$，保证约分有意义，然后逐步代入化简即可。
【解析】
已知$x = 2y$，且$x≠0$，则$y≠0$。
将$x = 2y$代入分式$\dfrac{x - y}{x}$中：
$\begin{aligned}\dfrac{x - y}{x}&=\dfrac{2y - y}{2y}\\&=\dfrac{y}{2y}\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
所以分式的值为$\dfrac{1}{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式求值、代入消元法
【点评】
本题考查分式的基础求值，核心是运用代入消元法将未知量统一，再通过约分简化计算。题目难度较低，只要掌握代入替换的方法和分式约分的规则，就能轻松解决，同时要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.9
这道题是分式求值问题，已知$x = 2y$的等量关系，解题思路是利用代入消元法，将分式中的$x$用$2y$替换，把分式转化为只含$y$的式子，再通过约分计算出结果。首先明确因为$x≠0$，所以$y≠0$，保证约分有意义，然后逐步代入化简即可。
【解析】
已知$x = 2y$，且$x≠0$，则$y≠0$。
将$x = 2y$代入分式$\dfrac{x - y}{x}$中：
$\begin{aligned}\dfrac{x - y}{x}&=\dfrac{2y - y}{2y}\\&=\dfrac{y}{2y}\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
所以分式的值为$\dfrac{1}{2}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式求值、代入消元法
【点评】
本题考查分式的基础求值，核心是运用代入消元法将未知量统一，再通过约分简化计算。题目难度较低，只要掌握代入替换的方法和分式约分的规则，就能轻松解决，同时要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.9
2. 若 $ \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4} $，则下列各式中不正确的是(
A.$ \dfrac{x + y}{y} = \dfrac{7}{4} $
B.$ \dfrac{y}{y - x} = 4 $
C.$ \dfrac{x - y}{y} = \dfrac{1}{4} $
D.$ \dfrac{x + 2y}{x} = \dfrac{11}{3} $
C
)A.$ \dfrac{x + y}{y} = \dfrac{7}{4} $
B.$ \dfrac{y}{y - x} = 4 $
C.$ \dfrac{x - y}{y} = \dfrac{1}{4} $
D.$ \dfrac{x + 2y}{x} = \dfrac{11}{3} $
答案
2. C
解析
【分析】
题目给出$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}$，要判断哪个式子不正确，我们可以采用设参数的方法，把x和y用同一个参数表示，再代入每个选项计算验证；也可以利用比例的合比、分比性质直接计算。首先设$x=3k$，$y=4k$（$k≠0$），这样能将x、y转化为具体的代数式，方便代入各选项进行分式化简计算，逐一验证每个选项的正确性，找出错误的式子。
【解析】
已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}$，设$x = 3k$，$y = 4k$（$k≠0$），分别代入各选项：
1. 选项A：
$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{3k+4k}{4k}=\dfrac{7k}{4k}=\dfrac{7}{4}$，该式正确；
2. 选项B：
$\dfrac{y}{y-x}=\dfrac{4k}{4k-3k}=\dfrac{4k}{k}=4$，该式正确；
3. 选项C：
$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{3k-4k}{4k}=\dfrac{-k}{4k}=-\dfrac{1}{4}≠\dfrac{1}{4}$，该式不正确；
4. 选项D：
$\dfrac{x+2y}{x}=\dfrac{3k+2×4k}{3k}=\dfrac{3k+8k}{3k}=\dfrac{11k}{3k}=\dfrac{11}{3}$，该式正确。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质、分式化简计算
【点评】
本题考查比例性质与分式运算的结合应用，通过设参数的方法将变量转化为具体代数式，是解决比例类问题的常用技巧，解题时需注意参数不为0，同时关注分式运算中的符号问题，避免因符号错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
题目给出$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}$，要判断哪个式子不正确，我们可以采用设参数的方法，把x和y用同一个参数表示，再代入每个选项计算验证；也可以利用比例的合比、分比性质直接计算。首先设$x=3k$，$y=4k$（$k≠0$），这样能将x、y转化为具体的代数式，方便代入各选项进行分式化简计算，逐一验证每个选项的正确性，找出错误的式子。
【解析】
已知$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{4}$，设$x = 3k$，$y = 4k$（$k≠0$），分别代入各选项：
1. 选项A：
$\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{3k+4k}{4k}=\dfrac{7k}{4k}=\dfrac{7}{4}$，该式正确；
2. 选项B：
$\dfrac{y}{y-x}=\dfrac{4k}{4k-3k}=\dfrac{4k}{k}=4$，该式正确；
3. 选项C：
$\dfrac{x-y}{y}=\dfrac{3k-4k}{4k}=\dfrac{-k}{4k}=-\dfrac{1}{4}≠\dfrac{1}{4}$，该式不正确；
4. 选项D：
$\dfrac{x+2y}{x}=\dfrac{3k+2×4k}{3k}=\dfrac{3k+8k}{3k}=\dfrac{11k}{3k}=\dfrac{11}{3}$，该式正确。
【答案】
C
【知识点】
比例的性质、分式化简计算
【点评】
本题考查比例性质与分式运算的结合应用，通过设参数的方法将变量转化为具体代数式，是解决比例类问题的常用技巧，解题时需注意参数不为0，同时关注分式运算中的符号问题，避免因符号错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8
3. 计算 $ (a^{2} - b^{2}) ÷ (a^{2} + ab) $，结果是(
A.$ -\dfrac{b}{a} $
B.$ \dfrac{a - b}{a} $
C.$ \dfrac{a + b}{a} $
D.$ -b $
B
)A.$ -\dfrac{b}{a} $
B.$ \dfrac{a - b}{a} $
C.$ \dfrac{a + b}{a} $
D.$ -b $
答案
3. B
解析
【分析】
这道题是分式的除法运算，解题思路是先对被除式和除式进行因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，最后通过约分得到最简结果。首先回忆因式分解的方法：被除式是平方差形式，可用平方差公式分解；除式有公因式，可提取公因式分解。转化为乘法后，约去分子分母的公因式，即可得到最终结果。
【解析】
1. 对被除式和除式因式分解：
利用平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
提取公因式：$a^2 + ab = a(a + b)$
2. 将除法转化为乘法：
$ (a^2 - b^2) ÷ (a^2 + ab) = (a + b)(a - b) ÷ [a(a + b)] = (a + b)(a - b) × \frac{1}{a(a + b)} $
3. 约分（约去公因式$a + b$，注意$a + b ≠ 0$，保证原式有意义）：
$ \frac{(a + b)(a - b)}{a(a + b)} = \frac{a - b}{a} $
【答案】
B
【知识点】
分式的除法运算，因式分解（平方差公式、提取公因式）
【点评】
本题考查分式除法的基本运算，核心是通过因式分解将分式化为可约分的形式，需要熟练掌握因式分解的方法和分式运算的规则，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0），避免出现错误。
【难度系数】
0.7
这道题是分式的除法运算，解题思路是先对被除式和除式进行因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，最后通过约分得到最简结果。首先回忆因式分解的方法：被除式是平方差形式，可用平方差公式分解；除式有公因式，可提取公因式分解。转化为乘法后，约去分子分母的公因式，即可得到最终结果。
【解析】
1. 对被除式和除式因式分解：
利用平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
提取公因式：$a^2 + ab = a(a + b)$
2. 将除法转化为乘法：
$ (a^2 - b^2) ÷ (a^2 + ab) = (a + b)(a - b) ÷ [a(a + b)] = (a + b)(a - b) × \frac{1}{a(a + b)} $
3. 约分（约去公因式$a + b$，注意$a + b ≠ 0$，保证原式有意义）：
$ \frac{(a + b)(a - b)}{a(a + b)} = \frac{a - b}{a} $
【答案】
B
【知识点】
分式的除法运算，因式分解（平方差公式、提取公因式）
【点评】
本题考查分式除法的基本运算，核心是通过因式分解将分式化为可约分的形式，需要熟练掌握因式分解的方法和分式运算的规则，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0），避免出现错误。
【难度系数】
0.7
4. 如果 $ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 $，那么分式 $ \dfrac{6xy}{x + y} $ 的值是(
A.$ 6 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 12 $
C
)A.$ 6 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 12 $
答案
4. C
解析
【分析】
首先，观察题目可知，已知条件是两个分式的和，目标分式包含$xy$与$x+y$，因此解题思路是先对已知等式进行通分变形，得到$x+y$与$xy$的数量关系，再将该关系整体代入目标分式，即可求出分式的值。具体步骤为：先对$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分，得到$x+y$和$xy$的等式，再替换目标分式中的$x+y$，最后约分计算。
【解析】
1. 对已知等式通分：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=3$，
由此可得$x+y=3xy$（因为$x$、$y$均不为0，否则原分式无意义，所以$xy≠0$）。
2. 将$x+y=3xy$代入目标分式：
$\frac{6xy}{x+y}=\frac{6xy}{3xy}$，
约分后得$\frac{6xy}{3xy}=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式通分、整体代入求值
【点评】
本题主要考查分式的基本运算及整体代入思想的应用，解题关键是通过通分将已知条件转化为$x+y$与$xy$的关系，再代入目标分式化简计算，属于基础题型，需要熟练掌握分式的通分运算和整体代入的技巧。
【难度系数】
0.8
首先，观察题目可知，已知条件是两个分式的和，目标分式包含$xy$与$x+y$，因此解题思路是先对已知等式进行通分变形，得到$x+y$与$xy$的数量关系，再将该关系整体代入目标分式，即可求出分式的值。具体步骤为：先对$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分，得到$x+y$和$xy$的等式，再替换目标分式中的$x+y$，最后约分计算。
【解析】
1. 对已知等式通分：
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=3$，
由此可得$x+y=3xy$（因为$x$、$y$均不为0，否则原分式无意义，所以$xy≠0$）。
2. 将$x+y=3xy$代入目标分式：
$\frac{6xy}{x+y}=\frac{6xy}{3xy}$，
约分后得$\frac{6xy}{3xy}=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式通分、整体代入求值
【点评】
本题主要考查分式的基本运算及整体代入思想的应用，解题关键是通过通分将已知条件转化为$x+y$与$xy$的关系，再代入目标分式化简计算，属于基础题型，需要熟练掌握分式的通分运算和整体代入的技巧。
【难度系数】
0.8
5. 若 $ x^{2} - 9 = 0 $，则 $ \dfrac{x^{2} - 6x + 9}{2x - 6} $ 的值为(
A.$ 0 $
B.$ -3 $
C.$ 0 $ 或 $ -3 $
D.$ 1 $
B
)A.$ 0 $
B.$ -3 $
C.$ 0 $ 或 $ -3 $
D.$ 1 $
答案
5. B
解析
【分析】
首先，我们需要先根据已知方程求出x的可能取值，再对所求分式进行化简，同时要注意分式有意义的条件（分母不能为0），排除使分式无意义的x值，最后将符合条件的x值代入化简后的分式计算出结果。
1. 先解方程$x^2 - 9 = 0$，得到x的两个可能值；
2. 对分式$\dfrac{x^2 - 6x + 9}{2x - 6}$进行因式分解化简，观察分母的限制条件，排除使分母为0的x值；
3. 将剩余的x值代入化简后的分式，计算出最终结果。
【解析】
1. 解方程$x^2 - 9 = 0$：
由平方差公式可得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$。
2. 化简分式$\dfrac{x^2 - 6x + 9}{2x - 6}$：
分子$x^2 - 6x + 9$是完全平方公式，可分解为$(x-3)^2$；分母$2x - 6$提取公因式2，得$2(x-3)$。
因此分式可化简为：$\dfrac{(x-3)^2}{2(x-3)}=\dfrac{x-3}{2}$（注意：化简的前提是$x≠3$，因为当$x=3$时，分母$2x-6=0$，分式无意义）。
3. 代入计算：
因为$x=3$时分式无意义，所以只能取$x=-3$，将其代入$\dfrac{x-3}{2}$得：
$\dfrac{-3 - 3}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式的化简求值，解题的关键是牢记分式有意义的条件（分母不为0），容易忽略$x=3$时分式无意义而误选C选项，解题时需仔细审题，注意限制条件。
【难度系数】
0.6
首先，我们需要先根据已知方程求出x的可能取值，再对所求分式进行化简，同时要注意分式有意义的条件（分母不能为0），排除使分式无意义的x值，最后将符合条件的x值代入化简后的分式计算出结果。
1. 先解方程$x^2 - 9 = 0$，得到x的两个可能值；
2. 对分式$\dfrac{x^2 - 6x + 9}{2x - 6}$进行因式分解化简，观察分母的限制条件，排除使分母为0的x值；
3. 将剩余的x值代入化简后的分式，计算出最终结果。
【解析】
1. 解方程$x^2 - 9 = 0$：
由平方差公式可得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x=3$或$x=-3$。
2. 化简分式$\dfrac{x^2 - 6x + 9}{2x - 6}$：
分子$x^2 - 6x + 9$是完全平方公式，可分解为$(x-3)^2$；分母$2x - 6$提取公因式2，得$2(x-3)$。
因此分式可化简为：$\dfrac{(x-3)^2}{2(x-3)}=\dfrac{x-3}{2}$（注意：化简的前提是$x≠3$，因为当$x=3$时，分母$2x-6=0$，分式无意义）。
3. 代入计算：
因为$x=3$时分式无意义，所以只能取$x=-3$，将其代入$\dfrac{x-3}{2}$得：
$\dfrac{-3 - 3}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，解一元二次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题重点考查分式的化简求值，解题的关键是牢记分式有意义的条件（分母不为0），容易忽略$x=3$时分式无意义而误选C选项，解题时需仔细审题，注意限制条件。
【难度系数】
0.6
6. 若 $ \dfrac{a}{b} = 3 $，则 $ \dfrac{2a - b}{b} = $
5
。答案
6. 5
解析
【分析】
首先观察所求式子$\dfrac{2a - b}{b}$，可将其拆分为$\dfrac{2a}{b} - \dfrac{b}{b}$，进一步化简为$2×\dfrac{a}{b} - 1$。已知$\dfrac{a}{b}=3$，只需将该已知条件代入化简后的式子即可计算结果；也可采用设值法，设$b=k(k≠0)$，则$a=3k$，再代入所求式子计算。
【解析】
方法一：分式拆分法
$\begin{aligned}\dfrac{2a - b}{b}&=\dfrac{2a}{b}-\dfrac{b}{b}\\&=2×\dfrac{a}{b}-1\end{aligned}$
将$\dfrac{a}{b}=3$代入上式：
$2×3 - 1=6 - 1=5$
方法二：设值法
设$b=k(k≠0)$，由$\dfrac{a}{b}=3$得$a=3k$，将$a=3k$，$b=k$代入$\dfrac{2a - b}{b}$：
$\begin{aligned}\dfrac{2×3k - k}{k}&=\dfrac{6k - k}{k}\\&=\dfrac{5k}{k}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
分式的化简求值、代数式代入计算
【点评】
本题主要考查分式的变形与代入求值，解题关键是将所求代数式转化为含已知条件$\dfrac{a}{b}$的形式，或通过设值法简化计算，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.9
首先观察所求式子$\dfrac{2a - b}{b}$，可将其拆分为$\dfrac{2a}{b} - \dfrac{b}{b}$，进一步化简为$2×\dfrac{a}{b} - 1$。已知$\dfrac{a}{b}=3$，只需将该已知条件代入化简后的式子即可计算结果；也可采用设值法，设$b=k(k≠0)$，则$a=3k$，再代入所求式子计算。
【解析】
方法一：分式拆分法
$\begin{aligned}\dfrac{2a - b}{b}&=\dfrac{2a}{b}-\dfrac{b}{b}\\&=2×\dfrac{a}{b}-1\end{aligned}$
将$\dfrac{a}{b}=3$代入上式：
$2×3 - 1=6 - 1=5$
方法二：设值法
设$b=k(k≠0)$，由$\dfrac{a}{b}=3$得$a=3k$，将$a=3k$，$b=k$代入$\dfrac{2a - b}{b}$：
$\begin{aligned}\dfrac{2×3k - k}{k}&=\dfrac{6k - k}{k}\\&=\dfrac{5k}{k}\\&=5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
分式的化简求值、代数式代入计算
【点评】
本题主要考查分式的变形与代入求值，解题关键是将所求代数式转化为含已知条件$\dfrac{a}{b}$的形式，或通过设值法简化计算，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.9
7. 已知 $ a + b = -3ab $，则 $ \dfrac{ab}{3a + 3b - ab} = $
$-\frac{1}{10}$
。答案
7. $-\frac{1}{10}$
解析
【分析】
首先观察题目，已知条件给出了$a+b$与$ab$的关系，要求的分式中含有$3a+3b$，可先将其变形为$3(a+b)$，再利用整体代入的思想，把$a+b=-3ab$代入分式的分母中，将分母用$ab$表示，最后约分化简即可得到结果。需要注意的是，由于分式有意义，$ab≠0$，保证约分的合理性。
【解析】
已知$a + b = -3ab$，对分式的分母进行变形：
$3a + 3b - ab = 3(a + b) - ab$
将$a + b = -3ab$代入上式：
$3×(-3ab) - ab = -9ab - ab = -10ab$
则原式可化为：
$\dfrac{ab}{-10ab}$
因为分式有意义，所以$ab≠0$，约去分子分母的$ab$，得：
$\dfrac{1}{-10}=-\dfrac{1}{10}$
【答案】
$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法、代数式变形
【点评】
本题主要考查分式化简求值的方法，核心是运用整体代入思想，将已知条件转化为可直接代入的形式，简化计算过程。解题时需注意分式有意义的隐含条件，确保约分的合理性，属于基础题型，侧重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察题目，已知条件给出了$a+b$与$ab$的关系，要求的分式中含有$3a+3b$，可先将其变形为$3(a+b)$，再利用整体代入的思想，把$a+b=-3ab$代入分式的分母中，将分母用$ab$表示，最后约分化简即可得到结果。需要注意的是，由于分式有意义，$ab≠0$，保证约分的合理性。
【解析】
已知$a + b = -3ab$，对分式的分母进行变形：
$3a + 3b - ab = 3(a + b) - ab$
将$a + b = -3ab$代入上式：
$3×(-3ab) - ab = -9ab - ab = -10ab$
则原式可化为：
$\dfrac{ab}{-10ab}$
因为分式有意义，所以$ab≠0$，约去分子分母的$ab$，得：
$\dfrac{1}{-10}=-\dfrac{1}{10}$
【答案】
$-\dfrac{1}{10}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法、代数式变形
【点评】
本题主要考查分式化简求值的方法，核心是运用整体代入思想，将已知条件转化为可直接代入的形式，简化计算过程。解题时需注意分式有意义的隐含条件，确保约分的合理性，属于基础题型，侧重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.8
8. 若一个长方形的面积为 $ (x^{2} - 4y^{2}) \mathrm{cm}^{2} $，长为 $ (x + 2y) \mathrm{cm} $，则该长方形的周长为
$4x$
$ \mathrm{cm} $。答案
8. $4x$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先利用长方形的面积公式求出宽，再根据周长公式计算周长。首先，长方形的面积=长×宽，所以宽=面积÷长；其次，观察到面积是平方差的形式，可利用平方差公式分解因式，方便计算除法；最后，将长和宽代入周长公式（周长=2×(长+宽)）计算即可。
【解析】
1. 求长方形的宽：
已知长方形面积为$x^2 - 4y^2$，长为$x + 2y$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 4y^2=(x+2y)(x-2y)$。
则宽$=\frac{x^2 - 4y^2}{x + 2y}=\frac{(x+2y)(x-2y)}{x + 2y}=x - 2y$（$x+2y≠0$，因为长度不为0）。
2. 计算长方形的周长：
长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，将长$x+2y$和宽$x-2y$代入得：
$C=2[(x+2y)+(x-2y)]=2(x+2y+x-2y)=2×2x=4x$。
【答案】
$4x$
【知识点】
平方差公式，长方形周长与面积公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用以及长方形周长、面积公式的综合运用，解题关键是通过分解因式简化除法运算，准确计算出宽后再代入周长公式求解，需要熟练掌握整式运算与几何公式的结合。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要先利用长方形的面积公式求出宽，再根据周长公式计算周长。首先，长方形的面积=长×宽，所以宽=面积÷长；其次，观察到面积是平方差的形式，可利用平方差公式分解因式，方便计算除法；最后，将长和宽代入周长公式（周长=2×(长+宽)）计算即可。
【解析】
1. 求长方形的宽：
已知长方形面积为$x^2 - 4y^2$，长为$x + 2y$，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 - 4y^2=(x+2y)(x-2y)$。
则宽$=\frac{x^2 - 4y^2}{x + 2y}=\frac{(x+2y)(x-2y)}{x + 2y}=x - 2y$（$x+2y≠0$，因为长度不为0）。
2. 计算长方形的周长：
长方形周长公式为$C=2×(长+宽)$，将长$x+2y$和宽$x-2y$代入得：
$C=2[(x+2y)+(x-2y)]=2(x+2y+x-2y)=2×2x=4x$。
【答案】
$4x$
【知识点】
平方差公式，长方形周长与面积公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用以及长方形周长、面积公式的综合运用，解题关键是通过分解因式简化除法运算，准确计算出宽后再代入周长公式求解，需要熟练掌握整式运算与几何公式的结合。
【难度系数】
0.6
9. 把多项式除法化成分式再化简。
(1) $ (x^{2} + 2x) ÷ (x + 2) $。
(2) $ (4a^{2} + a) ÷ (4a + 1) $。
(3) $ (a^{2} - 9) ÷ (a^{2} - 6a + 9) $。
(1) $ (x^{2} + 2x) ÷ (x + 2) $。
(2) $ (4a^{2} + a) ÷ (4a + 1) $。
(3) $ (a^{2} - 9) ÷ (a^{2} - 6a + 9) $。
答案
9. 解：(1)原式$=\frac{x(x + 2)}{x + 2}=x$。
(2)原式$=\frac{a(4a + 1)}{4a + 1}=a$。
(3)原式$=\frac{a^{2}-9}{a^{2}-6a + 9}=\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)^{2}}=\frac{a + 3}{a - 3}$。
(2)原式$=\frac{a(4a + 1)}{4a + 1}=a$。
(3)原式$=\frac{a^{2}-9}{a^{2}-6a + 9}=\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)^{2}}=\frac{a + 3}{a - 3}$。
解析
【分析】
要解决这类多项式除法化分式再化简的问题，解题思路如下：
1. 先根据除法与分式的关系，将多项式除法转化为分式形式，即被除数作为分子，除数作为分母；
2. 对分子和分母分别进行因式分解，常用方法有提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法；
3. 找出分子分母的公因式，依据分式的基本性质约分，得到最简结果。
具体到各小题：
(1) 先转化为分式$\frac{x^2+2x}{x+2}$，分子提取公因式$x$得$x(x+2)$，与分母$x+2$有公因式$x+2$，约分即可；
(2) 转化为分式$\frac{4a^2+a}{4a+1}$，分子提取公因式$a$得$a(4a+1)$，与分母$4a+1$有公因式$4a+1$，约分即可；
(3) 转化为分式$\frac{a^2-9}{a^2-6a+9}$，分子用平方差公式分解为$(a+3)(a-3)$，分母用完全平方公式分解为$(a-3)^2$，约去公因式$(a-3)$得到最简分式。
【解析】
(1) 原式$=\frac{x^2 + 2x}{x + 2}=\frac{x(x + 2)}{x + 2}=x$；
(2) 原式$=\frac{4a^2 + a}{4a + 1}=\frac{a(4a + 1)}{4a + 1}=a$；
(3) 原式$=\frac{a^2 - 9}{a^2 - 6a + 9}=\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)^2}=\frac{a + 3}{a - 3}$。
【答案】
(1) $x$；(2) $a$；(3) $\frac{a + 3}{a - 3}$
【知识点】
分式化简，因式分解
【点评】
本题考查分式化简与因式分解的综合应用，关键是将除法转化为分式后，通过因式分解找到公因式约分。解题时需注意约分的前提是公因式不为零，要熟练掌握提取公因式、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，提升代数变形能力。
【难度系数】
0.8
要解决这类多项式除法化分式再化简的问题，解题思路如下：
1. 先根据除法与分式的关系，将多项式除法转化为分式形式，即被除数作为分子，除数作为分母；
2. 对分子和分母分别进行因式分解，常用方法有提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法；
3. 找出分子分母的公因式，依据分式的基本性质约分，得到最简结果。
具体到各小题：
(1) 先转化为分式$\frac{x^2+2x}{x+2}$，分子提取公因式$x$得$x(x+2)$，与分母$x+2$有公因式$x+2$，约分即可；
(2) 转化为分式$\frac{4a^2+a}{4a+1}$，分子提取公因式$a$得$a(4a+1)$，与分母$4a+1$有公因式$4a+1$，约分即可；
(3) 转化为分式$\frac{a^2-9}{a^2-6a+9}$，分子用平方差公式分解为$(a+3)(a-3)$，分母用完全平方公式分解为$(a-3)^2$，约去公因式$(a-3)$得到最简分式。
【解析】
(1) 原式$=\frac{x^2 + 2x}{x + 2}=\frac{x(x + 2)}{x + 2}=x$；
(2) 原式$=\frac{4a^2 + a}{4a + 1}=\frac{a(4a + 1)}{4a + 1}=a$；
(3) 原式$=\frac{a^2 - 9}{a^2 - 6a + 9}=\frac{(a + 3)(a - 3)}{(a - 3)^2}=\frac{a + 3}{a - 3}$。
【答案】
(1) $x$；(2) $a$；(3) $\frac{a + 3}{a - 3}$
【知识点】
分式化简，因式分解
【点评】
本题考查分式化简与因式分解的综合应用，关键是将除法转化为分式后，通过因式分解找到公因式约分。解题时需注意约分的前提是公因式不为零，要熟练掌握提取公因式、平方差公式、完全平方公式等因式分解方法，提升代数变形能力。
【难度系数】
0.8
10. (1)已知 $ 2a + 3b = 6(b ≠ 2) $，求代数式 $ \dfrac{a}{b - 2} $ 的值。
(2)已知 $ x - 2y = 0 $，求 $ (x^{2} + 2xy + y^{2}) ÷ (x^{2} + xy) $ 的值。
(2)已知 $ x - 2y = 0 $，求 $ (x^{2} + 2xy + y^{2}) ÷ (x^{2} + xy) $ 的值。
答案
10. 解：(1)原式$=-\frac{3}{2}$。
(2)$(x^{2}+2xy + y^{2})÷(x^{2}+xy)$
$=(x + y)^{2}÷[x(x + y)]=\frac{x + y}{x}$。
因为$x - 2y = 0$，所以$x = 2y$，原式$=\frac{2y + y}{2y}=\frac{3}{2}$。
(2)$(x^{2}+2xy + y^{2})÷(x^{2}+xy)$
$=(x + y)^{2}÷[x(x + y)]=\frac{x + y}{x}$。
因为$x - 2y = 0$，所以$x = 2y$，原式$=\frac{2y + y}{2y}=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问，已知等式$2a + 3b = 6$，要求$\dfrac{a}{b - 2}$的值，我们可以通过对已知等式进行变形，凑出含$b-2$的式子，再将其转化为与所求代数式相关的形式。首先把已知等式移项得到$2a=6-3b$，然后对右边提取公因式，将$6-3b$变形为$-3(b-2)$，最后在$b≠2$（保证分母不为0）的前提下，两边同时除以$2(b-2)$即可得到结果。
2. 对于第(2)问，先对所求代数式进行化简，利用完全平方公式和提公因式法对分子分母因式分解，约分后得到最简形式，再根据已知条件$x-2y=0$得出$x=2y$，将其代入最简式计算即可，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0）。
【解析】
(1) 已知$2a + 3b = 6$，
移项得：$2a = 6 - 3b$，
对右边提取公因式：$2a = -3(b - 2)$，
因为$b≠2$，所以$b-2≠0$，两边同时除以$2(b-2)$，
得：$\dfrac{a}{b - 2}=-\dfrac{3}{2}$。
(2) 先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x^{2}+2xy + y^{2})÷(x^{2}+xy)\\=&(x + y)^{2}÷[x(x + y)]\\=&\dfrac{x + y}{x}\end{aligned}$
因为$x - 2y = 0$，所以$x = 2y$（$y≠0$，否则$x=0$，原式分母为0无意义），
将$x=2y$代入$\dfrac{x + y}{x}$得：
$\dfrac{2y + y}{2y}=\dfrac{3y}{2y}=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{3}{2}$；(2)$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 代数式求值；2. 因式分解；3. 分式约分
【点评】
本题考查代数式化简求值的基础应用，第(1)问侧重等式的变形与整体思想的运用，第(2)问需要先通过因式分解化简分式，再代入求值，解题过程中需注意分式有意义的条件，培养学生的代数变形能力与严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(1)问，已知等式$2a + 3b = 6$，要求$\dfrac{a}{b - 2}$的值，我们可以通过对已知等式进行变形，凑出含$b-2$的式子，再将其转化为与所求代数式相关的形式。首先把已知等式移项得到$2a=6-3b$，然后对右边提取公因式，将$6-3b$变形为$-3(b-2)$，最后在$b≠2$（保证分母不为0）的前提下，两边同时除以$2(b-2)$即可得到结果。
2. 对于第(2)问，先对所求代数式进行化简，利用完全平方公式和提公因式法对分子分母因式分解，约分后得到最简形式，再根据已知条件$x-2y=0$得出$x=2y$，将其代入最简式计算即可，同时要注意分式有意义的条件（分母不为0）。
【解析】
(1) 已知$2a + 3b = 6$，
移项得：$2a = 6 - 3b$，
对右边提取公因式：$2a = -3(b - 2)$，
因为$b≠2$，所以$b-2≠0$，两边同时除以$2(b-2)$，
得：$\dfrac{a}{b - 2}=-\dfrac{3}{2}$。
(2) 先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x^{2}+2xy + y^{2})÷(x^{2}+xy)\\=&(x + y)^{2}÷[x(x + y)]\\=&\dfrac{x + y}{x}\end{aligned}$
因为$x - 2y = 0$，所以$x = 2y$（$y≠0$，否则$x=0$，原式分母为0无意义），
将$x=2y$代入$\dfrac{x + y}{x}$得：
$\dfrac{2y + y}{2y}=\dfrac{3y}{2y}=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1)$-\dfrac{3}{2}$；(2)$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 代数式求值；2. 因式分解；3. 分式约分
【点评】
本题考查代数式化简求值的基础应用，第(1)问侧重等式的变形与整体思想的运用，第(2)问需要先通过因式分解化简分式，再代入求值，解题过程中需注意分式有意义的条件，培养学生的代数变形能力与严谨的解题习惯。
【难度系数】
0.6
