11. 已知 $ y = \dfrac{x}{1 - 2x} $，则 $ \dfrac{2x - 3xy - 2y}{y - xy - x} = $()

A.$ -\dfrac{1}{3} $
B.$ -7 $
C.$ -\dfrac{7}{3} $
D.$ -5 $

11. B

【分析】
首先，我们需要从已知条件出发，找到x、y与xy之间的关系，再将所求分式转化为含该关系的形式，通过整体代入化简求值。具体思路如下：
1. 对已知等式$y = \dfrac{x}{1 - 2x}$交叉相乘并整理，得到$y - x = 2xy$这一关键关系式；
2. 将所求分式的分子、分母变形为含有$y - x$和$xy$的形式；
3. 把$y - x = 2xy$整体代入变形后的分子、分母，约去非零的$xy$，即可求出分式的值。
【解析】
已知$y = \dfrac{x}{1 - 2x}$，交叉相乘得：
$y(1 - 2x) = x$
展开并移项整理：
$y - 2xy = x$
$y - x = 2xy$
对所求分式变形：
分子：$2x - 3xy - 2y = 2(x - y) - 3xy = -2(y - x) - 3xy$
分母：$y - xy - x = (y - x) - xy$
将$y - x = 2xy$代入：
分子：$-2×2xy - 3xy = -4xy - 3xy = -7xy$
分母：$2xy - xy = xy$
因为$xy≠0$（若$xy=0$，已知等式无意义），所以原式$=\dfrac{-7xy}{xy} = -7$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，整体代入法
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过已知等式推导$y - x$与$xy$的关系，利用整体代入法简化计算，避免直接代入x或y的复杂运算，考验学生的式子变形能力和整体思维。
【难度系数】
0.6

12. 已知 $ x - \dfrac{1}{x} = 3 $，则 $ x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} $ 的值是。

12. 11

【分析】
要求$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}$的值，观察已知条件$x - \dfrac{1}{x} = 3$，可联想到完全平方公式。因为完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$a=x$，$b=\dfrac{1}{x}$代入，展开后式子中会包含$x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}$，所以我们可以先对已知等式两边平方，再通过移项计算出所求式子的值。
【解析】
已知$x - \dfrac{1}{x} = 3$，
对等式两边平方可得：
$(x - \dfrac{1}{x})^2 = 3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$x^2 - 2· x·\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 9$
化简得：
$x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 9$
移项计算：
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 9 + 2 = 11$
【答案】
11
【知识点】
完全平方公式应用
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，学会通过对已知等式进行合理变形构造出所求代数式，属于基础题型，注重对公式灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.8

13. (1)已知 $ \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = 3 $，求分式 $ \dfrac{2a + 3ab - 2b}{a - ab - b} $ 的值。
(2)已知 $ x + \dfrac{1}{x} = 2 $，求分式 $ \dfrac{x^{2} + 2x + 1}{4x^{2} - 7x + 4} $ 的值。

13. 解：(1)所求分式的分子、分母都除以$ab$，即
$\frac{2a + 3ab - 2b}{a - ab - b}=\frac{(2a + 3ab - 2b)÷(ab)}{(a - ab - b)÷(ab)}=\frac{\frac{2}{b}+3-\frac{2}{a}}{\frac{1}{b}-1-\frac{1}{a}}$。
因为$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=3$，所以$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=-3$，
所以原式$=\frac{2×(-3)+3}{-3 - 1}=\frac{3}{4}$。
(2)$\frac{x^{2}+2x + 1}{4x^{2}-7x + 4}=\frac{x + 2+\frac{1}{x}}{4x - 7+\frac{4}{x}}=\frac{(x+\frac{1}{x})+2}{4(x+\frac{1}{x})-7}=\frac{2 + 2}{4×2 - 7}=4$。

【分析】
(1) 观察已知条件$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = 3$和所求分式，直接求$a$、$b$的值难度较大，因此考虑利用分式的基本性质，将所求分式的分子、分母同时除以$ab$，把分式转化为含有$\dfrac{1}{a}$和$\dfrac{1}{b}$的形式，再结合已知条件求出$\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}$的值，最后整体代入计算即可。
(2) 已知$x + \dfrac{1}{x} = 2$，且$x≠0$（否则$x+\dfrac{1}{x}$无意义），所求分式的分子分母均为$x$的二次式，可将分子、分母同时除以$x$，把分式转化为含有$x+\dfrac{1}{x}$的形式，再整体代入已知值计算，简化运算。
【解析】
(1) 对所求分式的分子、分母同时除以$ab$：
$\dfrac{2a + 3ab - 2b}{a - ab - b}=\dfrac{(2a + 3ab - 2b)÷(ab)}{(a - ab - b)÷(ab)}=\dfrac{\dfrac{2}{b}+3-\dfrac{2}{a}}{\dfrac{1}{b}-1-\dfrac{1}{a}}$
因为$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=3$，所以$\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=-3$，代入上式：
原式$=\dfrac{2×(-3)+3}{-3 - 1}=\dfrac{-6+3}{-4}=\dfrac{3}{4}$
(2) 因为$x≠0$，对所求分式的分子、分母同时除以$x$：
$\dfrac{x^{2}+2x + 1}{4x^{2}-7x + 4}=\dfrac{x + 2+\dfrac{1}{x}}{4x - 7+\dfrac{4}{x}}=\dfrac{(x+\dfrac{1}{x})+2}{4(x+\dfrac{1}{x})-7}$
将$x + \dfrac{1}{x} = 2$代入上式：
原式$=\dfrac{2 + 2}{4×2 - 7}=\dfrac{4}{8-7}=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入法
【点评】
本题两道小题均考查分式的化简求值，核心是利用分式的基本性质将所求分式转化为与已知条件相关的形式，通过整体代入思想简化计算，避免了直接求解未知数的繁琐过程，体现了转化思想在分式运算中的应用。
【难度系数】
0.6

14. (1)已知 $ 3x = 2y = 5z ≠ 0 $，求 $ \dfrac{x + 2y + 3z}{x - y + z} $ 的值。
(2)已知 $ \dfrac{y + z}{x} = \dfrac{z + x}{y} = \dfrac{x + y}{z} $，其中 $ x + y + z ≠ 0 $，求 $ \dfrac{x + y - z}{x + y + z} $ 的值。

14. 解：(1)设$3x = 2y = 5z = 30k$，
则$x = 10k$，$y = 15k$，$z = 6k$，
故$\frac{x + 2y + 3z}{x - y + z}=\frac{10k + 30k + 18k}{10k - 15k + 6k}=\frac{58k}{k}=58$。
(2)设$\frac{y + z}{x}=\frac{x + z}{y}=\frac{x + y}{z}=k$，
则$\begin{cases}y + z = kx①,\\x + z = ky②,\\x + y = kz③,\end{cases}$
①+②+③得，$2x + 2y + 2z = k(x + y + z)$，
因为$x + y + z≠0$，所以$k = 2$，
所以原式$=\frac{2z - z}{2z + z}=\frac{z}{3z}=\frac{1}{3}$。

【分析】
(1) 题目给出连等式$3x=2y=5z≠0$，直接求解$x$、$y$、$z$的具体值较困难，可通过设参数的方法，将$x$、$y$、$z$用同一参数表示，再代入分式消去参数得到结果。选择$30k$作为连等式的取值，是因为3、2、5的最小公倍数是30，能使$x$、$y$、$z$的表达式为整数，简化计算。
(2) 已知等比式且$x+y+z≠0$，设比例系数为$k$，将等比式转化为三个方程，再将三个方程相加，利用$x+y+z≠0$的条件求出$k$的值，最后把$x+y$用含$z$的式子替换，代入目标分式计算即可。
【解析】
(1) 设$3x = 2y = 5z = 30k$（$k≠0$），
则$x = 10k$，$y = 15k$，$z = 6k$，
将其代入$\dfrac{x + 2y + 3z}{x - y + z}$得：
$\dfrac{10k + 2×15k + 3×6k}{10k - 15k + 6k}=\dfrac{10k + 30k + 18k}{10k - 15k + 6k}=\dfrac{58k}{k}=58$。
(2) 设$\dfrac{y + z}{x} = \dfrac{z + x}{y} = \dfrac{x + y}{z}=k$，
则可得方程组：
$\begin{cases}y + z = kx①,\\z + x = ky②,\\x + y = kz③,\end{cases}$
①+②+③得：$2(x + y + z)=k(x + y + z)$，
因为$x + y + z≠0$，等式两边同时除以$x + y + z$，得$k = 2$，
由③可知$x + y = 2z$，将其代入$\dfrac{x + y - z}{x + y + z}$得：
$\dfrac{2z - z}{2z + z}=\dfrac{z}{3z}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{58}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
1. 设参数法求分式值
2. 比例的性质
【点评】
本题重点考查设参数法在分式求值中的应用，通过引入参数将多元比例关系转化为一元表达式，有效简化计算。解题时需注意参数不为0的隐含条件，以及$x+y+z≠0$这一关键条件的作用，避免出现错误。该方法是解决比例类分式求值问题的核心技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6