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10. 一辆汽车以 $60$ 千米/时的速度行驶，从 $A$ 城到 $B$ 城需 $t$ 小时，如果该车的时速增加 $v$ 千米，那么从 $A$ 城到 $B$ 城需要(
A.$\frac{60t}{v}$ 小时
B.$\frac{60t}{v + 60}$ 小时
C.$\frac{vt}{v + 60}$ 小时
D.$\frac{vt}{60}$ 小时
B
)A.$\frac{60t}{v}$ 小时
B.$\frac{60t}{v + 60}$ 小时
C.$\frac{vt}{v + 60}$ 小时
D.$\frac{vt}{60}$ 小时
答案
10. B
解析
【分析】
这道题属于行程问题，解题核心是抓住A、B两城之间的路程不变。首先要利用“路程=速度×时间”求出A、B两城的总路程，接着算出提速后的新速度，最后再根据“时间=路程÷速度”求出提速后所需的行驶时间，进而匹配到正确选项。
【解析】
1. 计算A、B两城的路程：
根据行程问题基本公式“路程=速度×时间”，已知原来速度为60千米/时，行驶时间为t小时，可得A、B两城路程为：$s = 60 × t = 60t$千米。
2. 计算提速后的速度：
该车时速增加v千米，所以新速度为：$v_{新} = 60 + v$千米/时。
3. 计算提速后行驶时间：
根据“时间=路程÷速度”，将路程$60t$和新速度$60+v$代入公式，可得新的行驶时间为：$t_{新} = \frac{60t}{60 + v}$小时。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式
【点评】
本题考查行程问题中路程、速度、时间三者的关系，关键是抓住路程不变这一条件，灵活运用公式计算，属于基础题型，理解三者关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这道题属于行程问题，解题核心是抓住A、B两城之间的路程不变。首先要利用“路程=速度×时间”求出A、B两城的总路程，接着算出提速后的新速度，最后再根据“时间=路程÷速度”求出提速后所需的行驶时间，进而匹配到正确选项。
【解析】
1. 计算A、B两城的路程：
根据行程问题基本公式“路程=速度×时间”，已知原来速度为60千米/时，行驶时间为t小时，可得A、B两城路程为：$s = 60 × t = 60t$千米。
2. 计算提速后的速度：
该车时速增加v千米，所以新速度为：$v_{新} = 60 + v$千米/时。
3. 计算提速后行驶时间：
根据“时间=路程÷速度”，将路程$60t$和新速度$60+v$代入公式，可得新的行驶时间为：$t_{新} = \frac{60t}{60 + v}$小时。
【答案】
B
【知识点】
行程问题公式
【点评】
本题考查行程问题中路程、速度、时间三者的关系，关键是抓住路程不变这一条件，灵活运用公式计算，属于基础题型，理解三者关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11. 已知分式 $\frac{2x + a}{x - b}$($a$，$b$ 为常数)满足表格中的信息：
则(1)$b^a =$
(2)$c =$
则(1)$b^a =$
$ \frac{1}{2} $
。(2)$c =$
5
。答案
11. (1) $ \frac{1}{2} $ (2)5
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要利用分式的两个关键性质来推导a、b的值：
1. 分式无意义的条件是分母为0，当x=2时分式无意义，可据此求出b的值；
2. 分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，当x=0.5时分式值为0，可据此求出a的值。
求出a、b后，代入计算(1)的$b^a$，再将x=3、a、b的值代入分式计算(2)的c即可。
【解析】
(1) 求a、b的值：
当分式无意义时，分母为0。已知x=2时分式无意义，因此：
$2 - b = 0$，解得$b = 2$。
当分式的值为0时，分子为0且分母不为0。已知x=0.5时分式值为0，因此：
$2×0.5 + a = 0$，即$1 + a = 0$，解得$a = -1$。
则$b^a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
(2) 求c的值：
将$x=3$，$a=-1$，$b=2$代入分式$\frac{2x + a}{x - b}$中：
$c = \frac{2×3 + (-1)}{3 - 2} = \frac{6 - 1}{1} = 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
分式无意义的条件，分式值为0的条件，负整数指数幂
【点评】
本题围绕分式的核心性质展开，考查了分式无意义、值为0的条件，同时结合了代数式求值的知识，注重对基础概念的理解与应用，是分式入门的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们需要利用分式的两个关键性质来推导a、b的值：
1. 分式无意义的条件是分母为0，当x=2时分式无意义，可据此求出b的值；
2. 分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，当x=0.5时分式值为0，可据此求出a的值。
求出a、b后，代入计算(1)的$b^a$，再将x=3、a、b的值代入分式计算(2)的c即可。
【解析】
(1) 求a、b的值：
当分式无意义时，分母为0。已知x=2时分式无意义，因此：
$2 - b = 0$，解得$b = 2$。
当分式的值为0时，分子为0且分母不为0。已知x=0.5时分式值为0，因此：
$2×0.5 + a = 0$，即$1 + a = 0$，解得$a = -1$。
则$b^a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$。
(2) 求c的值：
将$x=3$，$a=-1$，$b=2$代入分式$\frac{2x + a}{x - b}$中：
$c = \frac{2×3 + (-1)}{3 - 2} = \frac{6 - 1}{1} = 5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；(2) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
分式无意义的条件，分式值为0的条件，负整数指数幂
【点评】
本题围绕分式的核心性质展开，考查了分式无意义、值为0的条件，同时结合了代数式求值的知识，注重对基础概念的理解与应用，是分式入门的典型题型。
【难度系数】
0.6
12. 已知分式 $-\frac{2}{x + 1}$ 的值不存在，则 $x^3 =$
-1
。答案
12. -1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式值不存在的条件：当分式的分母为0时，分式无意义，其值不存在。所以我们先根据这个条件列出关于x的方程，解出x的值后，再代入计算$x^3$即可。
【解析】
因为分式 $-\frac{2}{x + 1}$ 的值不存在，根据分式无意义的条件，分母为0时分式值不存在，所以：
$x + 1 = 0$
解得：$x = -1$
将$x = -1$代入$x^3$，可得：
$x^3 = (-1)^3 = -1$
【答案】
-1
【知识点】
分式无意义的条件、有理数乘方
【点评】
本题主要考查分式无意义的条件及有理数的乘方运算，属于基础题。解题的关键是牢记“分式的分母为0时，分式无意义，值不存在”这一核心知识点，计算乘方时注意负数的奇次幂为负数。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确分式值不存在的条件：当分式的分母为0时，分式无意义，其值不存在。所以我们先根据这个条件列出关于x的方程，解出x的值后，再代入计算$x^3$即可。
【解析】
因为分式 $-\frac{2}{x + 1}$ 的值不存在，根据分式无意义的条件，分母为0时分式值不存在，所以：
$x + 1 = 0$
解得：$x = -1$
将$x = -1$代入$x^3$，可得：
$x^3 = (-1)^3 = -1$
【答案】
-1
【知识点】
分式无意义的条件、有理数乘方
【点评】
本题主要考查分式无意义的条件及有理数的乘方运算，属于基础题。解题的关键是牢记“分式的分母为0时，分式无意义，值不存在”这一核心知识点，计算乘方时注意负数的奇次幂为负数。
【难度系数】
0.9
13. 已知甲工人每小时能加工零件 $a$ 个，现要加工零件 $m$ 个。
（1）若甲单独加工这批零件，则需要几小时完成？
（2）已知乙工人每小时能加工零件 $b$ 个，若两人同时加工这批零件，比甲单独做提前几小时完成？
（1）若甲单独加工这批零件，则需要几小时完成？
（2）已知乙工人每小时能加工零件 $b$ 个，若两人同时加工这批零件，比甲单独做提前几小时完成？
答案
解：
（1）根据工作时间=工作总量÷工作效率，甲单独加工这批零件需要的时间为$\frac{m}{a}$小时。
（2）两人同时加工时，每小时一共能加工$(a+b)$个零件，因此两人合作完成这批零件需要的时间为$\frac{m}{a+b}$小时。
比甲单独做提前的时间为：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+b} = \frac{m(a+b) - ma}{a(a+b)} = \frac{mb}{a(a+b)}$小时。
（1）根据工作时间=工作总量÷工作效率，甲单独加工这批零件需要的时间为$\frac{m}{a}$小时。
（2）两人同时加工时，每小时一共能加工$(a+b)$个零件，因此两人合作完成这批零件需要的时间为$\frac{m}{a+b}$小时。
比甲单独做提前的时间为：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+b} = \frac{m(a+b) - ma}{a(a+b)} = \frac{mb}{a(a+b)}$小时。
解析
【分析】
这是一道工程类代数应用题，解题核心是运用“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系。
对于（1）问，已知工作总量为$m$个，甲的工作效率为每小时$a$个，直接代入公式即可求出甲单独完成的时间。
对于（2）问，首先需计算甲乙合作的工作效率（两人每小时加工零件数之和），再用工作总量除以合作效率得到合作完成时间，最后用甲单独完成时间减去合作完成时间，通过分式通分运算化简得出提前的时间。
【解析】
（1）根据工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率，已知工作总量为$m$个，甲的工作效率为每小时$a$个，因此甲单独加工这批零件需要的时间为$\frac{m}{a}$小时。
（2）甲乙两人同时加工时，合作工作效率为每小时$(a+b)$个零件，代入公式可得两人合作完成这批零件需要的时间为$\frac{m}{a+b}$小时。
计算比甲单独做提前的时间：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+b} = \frac{m(a+b) - ma}{a(a+b)} = \frac{ma+mb - ma}{a(a+b)} = \frac{mb}{a(a+b)}$小时。
【答案】
（1）$\frac{m}{a}$小时；
（2）$\frac{mb}{a(a+b)}$小时。
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 分式加减运算
【点评】
本题侧重考察工程问题的基本公式应用与分式运算，属于代数基础应用题。解题关键是准确把握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，同时注意分式运算时的通分与化简，题目联系实际，能帮助学生理解代数在实际场景中的应用。
【难度系数】
0.8
这是一道工程类代数应用题，解题核心是运用“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系。
对于（1）问，已知工作总量为$m$个，甲的工作效率为每小时$a$个，直接代入公式即可求出甲单独完成的时间。
对于（2）问，首先需计算甲乙合作的工作效率（两人每小时加工零件数之和），再用工作总量除以合作效率得到合作完成时间，最后用甲单独完成时间减去合作完成时间，通过分式通分运算化简得出提前的时间。
【解析】
（1）根据工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率，已知工作总量为$m$个，甲的工作效率为每小时$a$个，因此甲单独加工这批零件需要的时间为$\frac{m}{a}$小时。
（2）甲乙两人同时加工时，合作工作效率为每小时$(a+b)$个零件，代入公式可得两人合作完成这批零件需要的时间为$\frac{m}{a+b}$小时。
计算比甲单独做提前的时间：
$\frac{m}{a} - \frac{m}{a+b} = \frac{m(a+b) - ma}{a(a+b)} = \frac{ma+mb - ma}{a(a+b)} = \frac{mb}{a(a+b)}$小时。
【答案】
（1）$\frac{m}{a}$小时；
（2）$\frac{mb}{a(a+b)}$小时。
【知识点】
1. 工程问题数量关系
2. 分式加减运算
【点评】
本题侧重考察工程问题的基本公式应用与分式运算，属于代数基础应用题。解题关键是准确把握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，同时注意分式运算时的通分与化简，题目联系实际，能帮助学生理解代数在实际场景中的应用。
【难度系数】
0.8
14. 给出 $4$ 个整式：$2$，$x + 2$，$\vert x\vert - 2$，$2x + 1$。
（1）从上面的 $4$ 个整式中选择 $2$ 个整式，写出一个分式，且满足该分式的值不可能为 $0$。
（2）从上面的 $4$ 个整式中选择 $2$ 个整式，写出一个分式，且满足当 $x = -2$ 时分式的值为 $0$。
（1）从上面的 $4$ 个整式中选择 $2$ 个整式，写出一个分式，且满足该分式的值不可能为 $0$。
（2）从上面的 $4$ 个整式中选择 $2$ 个整式，写出一个分式，且满足当 $x = -2$ 时分式的值为 $0$。
答案
14. 解：(1)答案不唯一，如 $ \frac{2}{x + 2} $。
(2)答案不唯一，如 $ \frac{x + 2}{2x + 1} $。
(2)答案不唯一，如 $ \frac{x + 2}{2x + 1} $。
解析
【分析】
要解决这两个问题，需先明确分式的定义（分母含有字母的代数式）以及分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）：
1. 对于第(1)问，要写出值不可能为0的分式，需保证分子恒不为0，同时分母为含字母的整式（满足分式定义）。可选常数2作为分子，因为2永远不等于0，再从含字母的整式中选一个作为分母，这样只要分母有意义，分式的值就不可能为0。
2. 对于第(2)问，要使$x=-2$时分式的值为0，需满足：当$x=-2$时，分子的值为0，且分母的值不为0。先找出$x=-2$时值为0的整式（$x+2$、$|x|-2$），再找出$x=-2$时值不为0的整式（2、$2x+1$），将前者作为分子，后者作为分母即可。
【解析】
(1) 根据分式定义和分式值不为0的要求，选择常数2作为分子，含字母的整式$x+2$作为分母，得到分式$\frac{2}{x + 2}$（答案不唯一，只要分子为恒不为0的整式，分母为含字母的整式即可）。
(2) 当$x=-2$时，$x+2=0$，$2x+1=2×(-2)+1=-3≠0$，满足分子为0且分母不为0的条件，因此可写出分式$\frac{x + 2}{2x + 1}$（答案不唯一，只要分子在$x=-2$时为0，分母在$x=-2$时不为0即可）。
【答案】
(1) $\frac{2}{x + 2}$（答案不唯一）；
(2) $\frac{x + 2}{2x + 1}$（答案不唯一）。
【知识点】
分式的定义、分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的核心概念，需要准确掌握分式的定义以及分式值为0的判定条件，题目具有开放性，需灵活选择合适的整式进行组合，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，需先明确分式的定义（分母含有字母的代数式）以及分式值为0的条件（分子为0且分母不为0）：
1. 对于第(1)问，要写出值不可能为0的分式，需保证分子恒不为0，同时分母为含字母的整式（满足分式定义）。可选常数2作为分子，因为2永远不等于0，再从含字母的整式中选一个作为分母，这样只要分母有意义，分式的值就不可能为0。
2. 对于第(2)问，要使$x=-2$时分式的值为0，需满足：当$x=-2$时，分子的值为0，且分母的值不为0。先找出$x=-2$时值为0的整式（$x+2$、$|x|-2$），再找出$x=-2$时值不为0的整式（2、$2x+1$），将前者作为分子，后者作为分母即可。
【解析】
(1) 根据分式定义和分式值不为0的要求，选择常数2作为分子，含字母的整式$x+2$作为分母，得到分式$\frac{2}{x + 2}$（答案不唯一，只要分子为恒不为0的整式，分母为含字母的整式即可）。
(2) 当$x=-2$时，$x+2=0$，$2x+1=2×(-2)+1=-3≠0$，满足分子为0且分母不为0的条件，因此可写出分式$\frac{x + 2}{2x + 1}$（答案不唯一，只要分子在$x=-2$时为0，分母在$x=-2$时不为0即可）。
【答案】
(1) $\frac{2}{x + 2}$（答案不唯一）；
(2) $\frac{x + 2}{2x + 1}$（答案不唯一）。
【知识点】
分式的定义、分式值为0的条件
【点评】
本题考查分式的核心概念，需要准确掌握分式的定义以及分式值为0的判定条件，题目具有开放性，需灵活选择合适的整式进行组合，属于基础概念题。
【难度系数】
0.8
