1. 下列命题中，是真命题的是()

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

A

A选项，根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，A是真命题；B选项，对角线相等的平行四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，B是假命题；C选项，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，C是假命题；D选项，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，仅互相垂直平分的四边形是菱形，D是假命题。

2. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若再添加一个条件使四边形ABCD是正方形，则此条件是()

A.∠D=90°
B.AB=CD
C.BC=CD
D.AD=BC

C

已知∠A=∠B=∠C=90°，根据矩形判定定理，四边形ABCD是矩形。要使矩形ABCD为正方形，需添加邻边相等的条件。选项中BC和CD是邻边，BC=CD可满足条件。A选项∠D=90°是矩形已有性质，B、D选项是矩形对边相等的性质，均不能判定为正方形。

3. □ABCD的对角线AC，BD相交于点O，给出四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③OA=OB；④AC⊥BD. 从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定□ABCD是正方形的有()

A.3组
B.4组
C.5组
D.6组

B

已知四边形ABCD是平行四边形，需判定为正方形，需同时满足矩形和菱形的条件。
①AB=BC：平行四边形邻边相等→菱形；
②∠ABC=90°：平行四边形有直角→矩形；
③OA=OB：平行四边形对角线相等（OA=OB则AC=BD）→矩形；
④AC⊥BD：平行四边形对角线垂直→菱形。
组合分析：
①②：菱形+矩形→正方形；
①③：菱形+矩形（AC=BD）→正方形；
②④：矩形+菱形（AC⊥BD）→正方形；
③④：矩形（AC=BD）+菱形（AC⊥BD）→正方形；
①④：仅菱形；②③：仅矩形，均不能判定。
共4组。

4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件：，使四边形ABCD是正方形.

AC=BD（或∠BAD=90°等，答案不唯一）

菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。要使菱形ABCD为正方形，根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，或对角线相等的菱形是正方形。因为菱形的对角线互相垂直，若添加AC=BD，则对角线相等的菱形是正方形；或添加∠BAD=90°，则有一个角是直角的菱形是正方形。

5. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是边AB，AC的中点，则四边形AEDF是；当△ABC满足条件时，四边形AEDF是正方形.

菱形；∠BAC=90°（或△ABC是等腰直角三角形）

∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC中点（等腰三角形三线合一）。E、F分别为AB、AC中点，∴ED为△ABC中位线，ED//AC且ED=1/2AC；FD为△ABC中位线，FD//AB且FD=1/2AB。∵AB=AC，∴ED=FD，且ED//AF，FD//AE，∴四边形AEDF是平行四边形，又邻边ED=FD，故为菱形。当△ABC为等腰直角三角形（∠BAC=90°）时，∠EAF=90°，菱形AEDF有一个直角，即为正方形。

6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE//BD，DE//AC. 若AC=√2，则点E到边CD的距离为.

1/2

∵四边形ABCD是正方形，AC=√2，
∴AC=BD=√2，AC⊥BD，OA=OC=OB=OD=√2/2，正方形边长AB=BC=CD=DA=1（∵对角线=边长×√2，∴边长=√2/√2=1）。
∵CE//BD，DE//AC，∴四边形OCED是平行四边形。
∵AC⊥BD，∴∠COD=90°，又OC=OD（正方形对角线互相平分且相等），
∴平行四边形OCED是正方形（邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形），∴OC=CE=ED=DO=√2/2。
以C为原点，CD为x轴，CB为y轴建立坐标系，C(0,0)，D(1,0)，AC：y=x，BD：y=-x+1，O(0.5,0.5)。
∵DE//AC（斜率1），D(1,0)，∴DE方程：y=x-1；CE//BD（斜率-1），C(0,0)，∴CE方程：y=-x。
联立DE与CE方程：x-1=-x，解得x=0.5，y=-0.5，∴E(0.5,-0.5)。
点E到CD（x轴）距离为|y_E|=0.5=1/2。

7. 如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点. 四边形ABCD的两条对角线：
(1)满足条件时，四边形EFGH是菱形；
(2)满足条件时，四边形EFGH是矩形；
(3)满足条件时，四边形EFGH是正方形.

(1)AC=BD；(2)AC⊥BD；(3)AC=BD且AC⊥BD

连接四边形各边中点的四边形为中点四边形，由三角形中位线定理知，中点四边形EFGH必为平行四边形。
(1)要使平行四边形EFGH为菱形，需邻边相等。EF=1/2AC，EH=1/2BD，故AC=BD时，EF=EH，四边形EFGH是菱形。
(2)要使平行四边形EFGH为矩形，需有一个角为直角。EF//AC，FG//BD，若AC⊥BD，则EF⊥FG，∠EFG=90°，四边形EFGH是矩形。
(3)要使平行四边形EFGH为正方形，需同时为菱形和矩形，即AC=BD且AC⊥BD。

8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形.

证明：
1. ∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCD=45°。
2. ∵EF是CD的垂直平分线，∴EO⊥CD，CO=OD，且EC=ED，FC=FD（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
3. 在△EOC和△FOC中，
∠ECO=∠FCO=45°，
∠EOC=∠FOC=90°，
OC=OC，
∴△EOC≌△FOC（AAS），∴EC=FC。
4. ∵EC=ED，FC=FD，EC=FC，∴EC=ED=FC=FD，∴四边形CEDF是菱形。
5. ∵∠ACB=90°，即∠ECF=90°，∴菱形CEDF是正方形。
综上，四边形CEDF是正方形。