例 1 (1)两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是()
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
(2)下列命题中，正确的是()
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【思路导析】根据正方形的判定进行识别.
【请你解答】(1)；
(2).

(1)D；(2)D

(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
(2)A.对角线相等的平行四边形才是矩形，原命题错误；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题错误；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题错误；D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确。

例 2 如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN. 求证：四边形EFMN是正方形.

【探究点拨】根据全等得到EN=EF=FM=MN，再证一个角为直角即可.
【规范解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠B=90°.
∵DN=AE，∴AN=BE.
∵AE=BF，∴△AEN≌△BFE，
∴EN=EF，∠AEN=∠BFE.
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEN=90°，
∴∠NEF=90°.
同理可证EN=EF=FM=MN，
∴四边形EFMN为菱形.
又∵∠NEF=90°，
∴菱形EFMN是正方形.

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
∵AE=BF=CM=DN，
∴AB-AE=BC-BF=CD-CM=DA-DN，即BE=CF=DM=AN。
在△AEN和△BFE中，
AE=BF，∠A=∠B，AN=BE，
∴△AEN≌△BFE（SAS），
∴EN=EF，∠AEN=∠BFE。
∵∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠AEN+∠BEF=90°，
∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）=90°。
同理可证△BFE≌△CMF，△CMF≌△DNM，
∴EF=FM，FM=MN，
∴EN=EF=FM=MN。
∵EN=EF=FM=MN，∠NEF=90°，
∴四边形EFMN是正方形。

1. 已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是()

A.OA=OC，OB=OD
B.当AB=CD时，四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形

B

A选项：根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，所以$OA = OC$，$OB = OD$，该选项正确；
B选项：因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = CD$是平行四边形的一组对边本身的性质，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅$AB = CD$不能判定四边形$ABCD$是菱形，该选项错误；
C选项：根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，当$∠ ABC = 90^{\circ}$时，四边形$ABCD$是矩形，该选项正确；
D选项：根据正方形的判定定理：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，当$AC = BD$且$AC⊥ BD$时，四边形$ABCD$是正方形，该选项正确。

2. 如图，在四边形ABCD中，BA=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB=∠CDB；
(2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形.

(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。在△ABD和△CBD中，BA=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB=∠CDB。
(2)证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°。∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形。∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN。∴矩形MPND是正方形。