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8. 已知$(x+3)^{2}+\sqrt{2-y}=0$，则$x+y=$.
答案
$-1$
解析
由于$(x + 3)^{2} ≥ 0$（任何数的平方都是非负数），$\sqrt{2 - y} ≥ 0$（算术平方根是非负数），且$(x + 3)^{2}+\sqrt{2 - y}=0$。
那么只有$x + 3 = 0$且$2 - y = 0$才能满足等式。
由$x + 3 = 0$，可得$x=-3$；由$2 - y = 0$，可得$y = 2$。
所以$x + y=-3 + 2=-1$。
那么只有$x + 3 = 0$且$2 - y = 0$才能满足等式。
由$x + 3 = 0$，可得$x=-3$；由$2 - y = 0$，可得$y = 2$。
所以$x + y=-3 + 2=-1$。
9. (1)当$x=$时，代数式$3-\sqrt{2x+1}$有最大值，其最大值是；
(2)当$x=$时，代数式$3+\sqrt{x^{2}-6x+13}$有最小值，其最小值是；
(2)当$x=$时，代数式$3+\sqrt{x^{2}-6x+13}$有最小值，其最小值是；
答案
-1/2；3；3；5
解析
(1)∵√(2x+1)≥0，∴当√(2x+1)=0时，3-√(2x+1)有最大值。此时2x+1=0，解得x=-1/2，最大值为3-0=3。
(2)x²-6x+13=(x-3)²+4，∵(x-3)²≥0，∴(x-3)²+4≥4，√(x²-6x+13)≥2。当x=3时，√(x²-6x+13)=2，代数式3+√(x²-6x+13)最小值为3+2=5。
(2)x²-6x+13=(x-3)²+4，∵(x-3)²≥0，∴(x-3)²+4≥4，√(x²-6x+13)≥2。当x=3时，√(x²-6x+13)=2，代数式3+√(x²-6x+13)最小值为3+2=5。
10. 当$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)$\sqrt{1+2x}$；
(2)$\sqrt{(1-x)^{2}}$；
(3)$\sqrt{1+x}+x^{0}$；
(4)$\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$；
(5)$\sqrt{-x^{2}}$；
(6)$\sqrt{x-4}+\sqrt{5-x}$.
(1)$\sqrt{1+2x}$；
(2)$\sqrt{(1-x)^{2}}$；
(3)$\sqrt{1+x}+x^{0}$；
(4)$\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}$；
(5)$\sqrt{-x^{2}}$；
(6)$\sqrt{x-4}+\sqrt{5-x}$.
答案
(1)
要使$\sqrt{1 + 2x}$有意义，则$1+2x≥0$，
解得$x≥-\frac{1}{2}$。
(2)
因为$(1 - x)^{2}≥0$对于任意实数$x$都成立，所以$x$取任意实数时，$\sqrt{(1 - x)^{2}}$都有意义。
(3)
要使$\sqrt{1 + x}+x^{0}$有意义，则$\begin{cases}1 + x≥0\\x≠0\end{cases}$，
由$1+x≥0$得$x≥ - 1$，结合$x≠0$，所以$x≥ - 1$且$x≠0$。
(4)
要使$\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$有意义，则$\begin{cases}x + 2≥0\\x-1≠0\end{cases}$，
由$x + 2≥0$得$x≥ - 2$，由$x - 1≠0$得$x≠1$，所以$x≥ - 2$且$x≠1$。
(5)
要使$\sqrt{-x^{2}}$有意义，则$-x^{2}≥0$，即$x^{2}≤0$，又因为$x^{2}≥0$，所以$x = 0$。
(6)
要使$\sqrt{x - 4}+\sqrt{5 - x}$有意义，则$\begin{cases}x - 4≥0\\5 - x≥0\end{cases}$，
由$x - 4≥0$得$x≥4$，由$5 - x≥0$得$x≤5$，所以$4≤ x≤5$。
综上，答案依次为：(1)$x≥-\frac{1}{2}$；(2)$x$取任意实数；(3)$x≥ - 1$且$x≠0$；(4)$x≥ - 2$且$x≠1$；(5)$x = 0$；(6)$4≤ x≤5$。
要使$\sqrt{1 + 2x}$有意义，则$1+2x≥0$，
解得$x≥-\frac{1}{2}$。
(2)
因为$(1 - x)^{2}≥0$对于任意实数$x$都成立，所以$x$取任意实数时，$\sqrt{(1 - x)^{2}}$都有意义。
(3)
要使$\sqrt{1 + x}+x^{0}$有意义，则$\begin{cases}1 + x≥0\\x≠0\end{cases}$，
由$1+x≥0$得$x≥ - 1$，结合$x≠0$，所以$x≥ - 1$且$x≠0$。
(4)
要使$\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$有意义，则$\begin{cases}x + 2≥0\\x-1≠0\end{cases}$，
由$x + 2≥0$得$x≥ - 2$，由$x - 1≠0$得$x≠1$，所以$x≥ - 2$且$x≠1$。
(5)
要使$\sqrt{-x^{2}}$有意义，则$-x^{2}≥0$，即$x^{2}≤0$，又因为$x^{2}≥0$，所以$x = 0$。
(6)
要使$\sqrt{x - 4}+\sqrt{5 - x}$有意义，则$\begin{cases}x - 4≥0\\5 - x≥0\end{cases}$，
由$x - 4≥0$得$x≥4$，由$5 - x≥0$得$x≤5$，所以$4≤ x≤5$。
综上，答案依次为：(1)$x≥-\frac{1}{2}$；(2)$x$取任意实数；(3)$x≥ - 1$且$x≠0$；(4)$x≥ - 2$且$x≠1$；(5)$x = 0$；(6)$4≤ x≤5$。
11. 已知$a$，$b$为一个等腰三角形的两边长，且满足等式$2\sqrt{3a-9}+3\sqrt{3-a}=b-6$，求此等腰三角形的周长.
答案
1. 由二次根式有意义条件得：
$ \begin{cases} 3a - 9 ≥ 0 \\ 3 - a ≥ 0 \end{cases} $
解得 $a ≥ 3$ 且 $a ≤ 3$，故 $a = 3$。
2. 将 $a = 3$ 代入等式 $2\sqrt{3a - 9} + 3\sqrt{3 - a} = b - 6$，得：
$ 2\sqrt{0} + 3\sqrt{0} = b - 6 \implies b = 6 $
3. 等腰三角形两边长为 $a = 3$，$b = 6$，分两种情况：
若腰长为 3，底边长为 6，三边为 3, 3, 6。因 $3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，舍去。
若腰长为 6，底边长为 3，三边为 6, 6, 3。因 $6 + 3 ＞ 6$ 且 $6 + 6 ＞ 3$，满足三角形三边关系。
4. 周长为 $6 + 6 + 3 = 15$。
结论：此等腰三角形的周长为15。
$ \begin{cases} 3a - 9 ≥ 0 \\ 3 - a ≥ 0 \end{cases} $
解得 $a ≥ 3$ 且 $a ≤ 3$，故 $a = 3$。
2. 将 $a = 3$ 代入等式 $2\sqrt{3a - 9} + 3\sqrt{3 - a} = b - 6$，得：
$ 2\sqrt{0} + 3\sqrt{0} = b - 6 \implies b = 6 $
3. 等腰三角形两边长为 $a = 3$，$b = 6$，分两种情况：
若腰长为 3，底边长为 6，三边为 3, 3, 6。因 $3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，舍去。
若腰长为 6，底边长为 3，三边为 6, 6, 3。因 $6 + 3 ＞ 6$ 且 $6 + 6 ＞ 3$，满足三角形三边关系。
4. 周长为 $6 + 6 + 3 = 15$。
结论：此等腰三角形的周长为15。
12. (1)【问题情景】请认真阅读下列例题的解法.
例：若$x$，$y$为实数，且$y＞\sqrt{x-4}+\sqrt{4-x}+1$，化简：$\dfrac{\vert1-y\vert}{y-1}$.
解：由$\begin{cases}x - 4≥0,\\4 - x≥0,\end{cases}$解得$x=$ ______ ，
$\therefore y＞$，
$\therefore\dfrac{\vert1-y\vert}{y-1}=\_\_\_\_\_\_=$.
(2)【拓展创新】已知$n=\sqrt{mn-10}+\sqrt{20-2mn}-m+7$，求$m^{2}+n^{2}$的值.
例：若$x$，$y$为实数，且$y＞\sqrt{x-4}+\sqrt{4-x}+1$，化简：$\dfrac{\vert1-y\vert}{y-1}$.
解：由$\begin{cases}x - 4≥0,\\4 - x≥0,\end{cases}$解得$x=$ ______ ，
$\therefore y＞$，
$\therefore\dfrac{\vert1-y\vert}{y-1}=\_\_\_\_\_\_=$.
(2)【拓展创新】已知$n=\sqrt{mn-10}+\sqrt{20-2mn}-m+7$，求$m^{2}+n^{2}$的值.
答案
(1)【问题情景】
由$\begin{cases}x - 4 ≥ 0, \\4 - x ≥ 0,\end{cases}$
解得$x = 4$，
$\therefore y ＞ 1$，
$\therefore \dfrac{|1 - y|}{y - 1} = \dfrac{y - 1}{y - 1} = 1$，
答案为：$4$；$1$；$1$。
(2)【拓展创新】
由$\begin{cases}mn - 10 ≥ 0, \\20 - 2mn ≥ 0,\end{cases}$
可得$mn ≥ 10$ 和 $mn ≤ 10$，
因此$mn = 10$，
代入原式得$n = \sqrt{0} + \sqrt{0} - m + 7$，
即$n = -m + 7$，
因此$m + n = 7$，
$m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 = 49$，
又因为$mn = 10$，
所以$m^2 + n^2 = 49 - 2 × 10 = 29$，
最终答案为：$29$。
由$\begin{cases}x - 4 ≥ 0, \\4 - x ≥ 0,\end{cases}$
解得$x = 4$，
$\therefore y ＞ 1$，
$\therefore \dfrac{|1 - y|}{y - 1} = \dfrac{y - 1}{y - 1} = 1$，
答案为：$4$；$1$；$1$。
(2)【拓展创新】
由$\begin{cases}mn - 10 ≥ 0, \\20 - 2mn ≥ 0,\end{cases}$
可得$mn ≥ 10$ 和 $mn ≤ 10$，
因此$mn = 10$，
代入原式得$n = \sqrt{0} + \sqrt{0} - m + 7$，
即$n = -m + 7$，
因此$m + n = 7$，
$m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2 = 49$，
又因为$mn = 10$，
所以$m^2 + n^2 = 49 - 2 × 10 = 29$，
最终答案为：$29$。
