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2. 当$x$取什么实数时，式子$\sqrt{3x-1}+2$的取值最小？求出这个最小值.
答案
当$x = \frac{1}{3}$时，式子取值最小，最小值为$2$。
解析
要使式子$\sqrt{3x - 1} + 2$取值最小，需先考虑二次根式$\sqrt{3x - 1}$的取值范围。
因为二次根式的被开方数必须是非负数，所以$3x - 1 ≥ 0$，解得$x ≥ \frac{1}{3}$。
又因为$\sqrt{3x - 1} ≥ 0$，当且仅当$3x - 1 = 0$，即$x = \frac{1}{3}$时，$\sqrt{3x - 1}$取得最小值$0$。
此时，式子$\sqrt{3x - 1} + 2$的最小值为$0 + 2 = 2$。
综上，当$x = \frac{1}{3}$时，式子取值最小，最小值为$2$。
因为二次根式的被开方数必须是非负数，所以$3x - 1 ≥ 0$，解得$x ≥ \frac{1}{3}$。
又因为$\sqrt{3x - 1} ≥ 0$，当且仅当$3x - 1 = 0$，即$x = \frac{1}{3}$时，$\sqrt{3x - 1}$取得最小值$0$。
此时，式子$\sqrt{3x - 1} + 2$的最小值为$0 + 2 = 2$。
综上，当$x = \frac{1}{3}$时，式子取值最小，最小值为$2$。
1. 二次根式$\sqrt{1-x}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是()
A.$x≥1$
B.$x≤1$
C.$x＞1$
D.$x＜1$
A.$x≥1$
B.$x≤1$
C.$x＞1$
D.$x＜1$
答案
B
解析
根据二次根式的定义，被开方数必须大于等于零，即：$1 - x ≥ 0$，解这个不等式得到：$x ≤ 1$。
所以，当$x ≤ 1$时，二次根式$\sqrt{1 - x}$在实数范围内有意义。
所以，当$x ≤ 1$时，二次根式$\sqrt{1 - x}$在实数范围内有意义。
2. 当$x=-3$时，下列各式中没有意义的是()
A.$\sqrt{\vert x - 1\vert}$
B.$\sqrt{-\dfrac{1}{2}x}$
C.$\sqrt{2+x}$
D.$\sqrt{2-x}$
A.$\sqrt{\vert x - 1\vert}$
B.$\sqrt{-\dfrac{1}{2}x}$
C.$\sqrt{2+x}$
D.$\sqrt{2-x}$
答案
C
解析
要确定二次根式有无意义，需保证被开方数非负。将$x = -3$代入各选项逐一判断：
选项A：$∣ x-1∣=∣ -3 - 1∣=∣ -4∣ = 4＞0$，所以$\sqrt{\vert x - 1\vert}$有意义。
选项B：$-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}×(-3)=\frac{3}{2}＞0$，所以$\sqrt{-\frac{1}{2}x}$有意义。
选项C：$2 + x=2+(-3)=-1＜0$，所以$\sqrt{2 + x}$无意义。
选项D：$2 - x=2-(-3)=2 + 3 = 5＞0$，所以$\sqrt{2 - x}$有意义。
选项A：$∣ x-1∣=∣ -3 - 1∣=∣ -4∣ = 4＞0$，所以$\sqrt{\vert x - 1\vert}$有意义。
选项B：$-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}×(-3)=\frac{3}{2}＞0$，所以$\sqrt{-\frac{1}{2}x}$有意义。
选项C：$2 + x=2+(-3)=-1＜0$，所以$\sqrt{2 + x}$无意义。
选项D：$2 - x=2-(-3)=2 + 3 = 5＞0$，所以$\sqrt{2 - x}$有意义。
3. 下列式子：①$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；②$\sqrt{-3}$；③$-\sqrt{x^{2}+1}$；④$\sqrt[3]{27}$；⑤$\sqrt{(-2)^{2}}$，是二次根式的有()
A.①③
B.①③⑤
C.①②③
D.①②③⑤
A.①③
B.①③⑤
C.①②③
D.①②③⑤
答案
B
解析
根据二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a ≥ 0$）的式子叫做二次根式。
①$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，被开方数为正数，符合二次根式的定义。
②$\sqrt{-3}$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式。
③$-\sqrt{x^{2}+1}$，因为$x^{2} ≥ 0$，所以$x^{2}+1 ≥ 1 ＞ 0$，被开方数为正数，是二次根式。
④$\sqrt[3]{27}$，根指数为3，不是二次根式。
⑤$\sqrt{(-2)^{2}} = \sqrt{4}$，被开方数为正数，是二次根式。
综上，是二次根式的有①③⑤。
①$\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，被开方数为正数，符合二次根式的定义。
②$\sqrt{-3}$，被开方数为负数，无意义，不是二次根式。
③$-\sqrt{x^{2}+1}$，因为$x^{2} ≥ 0$，所以$x^{2}+1 ≥ 1 ＞ 0$，被开方数为正数，是二次根式。
④$\sqrt[3]{27}$，根指数为3，不是二次根式。
⑤$\sqrt{(-2)^{2}} = \sqrt{4}$，被开方数为正数，是二次根式。
综上，是二次根式的有①③⑤。
4. 下列判断正确的是()
A.带根号的式子一定是二次根式
B.式子$\sqrt{2x+3}$一定是二次根式
C.式子$\sqrt{m^{2}+1}$一定是二次根式
D.二次根式的值一定是无理数
A.带根号的式子一定是二次根式
B.式子$\sqrt{2x+3}$一定是二次根式
C.式子$\sqrt{m^{2}+1}$一定是二次根式
D.二次根式的值一定是无理数
答案
C
解析
A.带根号的式子不一定是二次根式，如$\sqrt[3]{2}$是三次根式，故A错误；B.当$2x+3≥0$，即$x≥-\frac{3}{2}$时，$\sqrt{2x+3}$是二次根式，否则不是，故B错误；C.因为$m^2≥0$，所以$m^2 + 1≥1＞0$，式子$\sqrt{m^2 + 1}$一定是二次根式，故C正确；D.二次根式的值不一定是无理数，如$\sqrt{4}=2$是有理数，故D错误。
5. 如果$a$是任意实数，下列式子中一定成立的是()
A.$\sqrt{a}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}}}$
C.$\sqrt{a^{2}}$
D.$\sqrt{-a^{2}}$
A.$\sqrt{a}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}}}$
C.$\sqrt{a^{2}}$
D.$\sqrt{-a^{2}}$
答案
C
解析
选项A：$\sqrt{a}$，当$a＜0$时，$\sqrt{a}$不成立，因为二次根式的被开方数须是非负数。
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}}}$，当$a=0$时，分母为0，无意义，因此不成立。
选项C：$\sqrt{a^{2}}$，因为$a^{2} ≥ 0$对任意实数$a$都成立，所以$\sqrt{a^{2}}$有意义。
选项D：$\sqrt{-a^{2}}$，当$a ≠ 0$时，$-a^{2}＜0$，此时$\sqrt{-a^{2}}$无意义。
因此，只有选项C一定成立。
选项B：$\sqrt{\dfrac{1}{a^{2}}}$，当$a=0$时，分母为0，无意义，因此不成立。
选项C：$\sqrt{a^{2}}$，因为$a^{2} ≥ 0$对任意实数$a$都成立，所以$\sqrt{a^{2}}$有意义。
选项D：$\sqrt{-a^{2}}$，当$a ≠ 0$时，$-a^{2}＜0$，此时$\sqrt{-a^{2}}$无意义。
因此，只有选项C一定成立。
6. 如果式子$\sqrt{-m}+\dfrac{1}{\sqrt{mn}}$有意义，那么在平面直角坐标系中点$P(m,n)$的位置在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
要使式子$\sqrt{-m}+\dfrac{1}{\sqrt{mn}}$有意义，则$\sqrt{-m}$有意义需$-m≥0$，即$m≤0$；$\dfrac{1}{\sqrt{mn}}$有意义需$mn＞0$。因为$m≤0$且$mn＞0$，所以$m＜0$，$n＜0$，故点$P(m,n)$在第三象限。
7. 函数$y=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x}$中自变量$x$的取值范围是.
答案
$x≥ -3$且$x≠ 0$（写填题形式应写为对应范围表达）
解析
根据二次根式的意义，被开方数必须是非负数，即 $x + 3 ≥ 0$，解得 $x ≥ -3$。
根据分式的意义，分母不能为 $0$，即 $x ≠ 0$。
综合以上两个条件，自变量 $x$ 的取值范围是 $x ≥ -3$ 且 $x ≠ 0$。
根据分式的意义，分母不能为 $0$，即 $x ≠ 0$。
综合以上两个条件，自变量 $x$ 的取值范围是 $x ≥ -3$ 且 $x ≠ 0$。
