例1 填空：
(1) $9 = ( )\_\_\_\_\_\_$)^{2}$；(2) $7 = ()$)^{2}$；
(3) $\frac{1}{4} = ( )\_\_\_\_\_\_$)^{2}$；(4) $π = ()$)^{2}$。
【思路导析】任意一个非负数$a$都可以写成一个数的平方的形式，即$a = (\sqrt{a})^{2}$或$a = (-\sqrt{a})^{2}(a≥0)$。
【请你解答】(1)；
(2)；
(3)；
(4)。

(1)3；(2)$\sqrt{7}$；(3)$\frac{1}{2}$；(4)$\sqrt{π}$

根据二次根式的性质，任意一个非负数$a$都可以写成$(\sqrt{a})^{2}$的形式（$a≥0$）。
(1) 因为$9$是非负数，所以$9 = (\sqrt{9})^{2} = 3^{2}$，故括号内填$3$；
(2) 因为$7$是非负数，所以$7 = (\sqrt{7})^{2}$，故括号内填$\sqrt{7}$；
(3) 因为$\frac{1}{4}$是非负数，所以$\frac{1}{4} = (\sqrt{\frac{1}{4}})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}$，故括号内填$\frac{1}{2}$；
(4) 因为$π$是非负数，所以$π = (\sqrt{π})^{2}$，故括号内填$\sqrt{π}$。

例2 计算：
(1) $(\sqrt{27})^{2}$； (2) $\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}}$； (3) $(3\sqrt{m})^{2}$。
【思路导析】综合利用二次根式的性质和积的平方的性质进行计算。
【请你解答】

(1) 根据二次根式的性质 $(\sqrt{a})^{2} = a$（其中 $a ≥ 0$），得：
$(\sqrt{27})^{2} = 27$，
(2) 根据二次根式的性质 $\sqrt{a^{2}} = |a|$，得：
$\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}} = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$，
(3) 根据积的乘方性质 $(ab)^{2} = a^{2}b^{2}$ 和二次根式的性质，得：
$(3\sqrt{m})^{2} = 3^{2} × (\sqrt{m})^{2} = 9 × m = 9m$。

例3 已知$x ＞ \frac{1}{2}$，化简$3x + 2 - \sqrt{1 - 4x + 4x^{2}} =$。
【探究点拨】$\sqrt{1 - 4x + 4x^{2}} = \sqrt{(1 - 2x)^{2}} = |1 - 2x|$，当$x ＞ \frac{1}{2}$时，$|1 - 2x| = 2x - 1$。
【规范解答】原式$= 3x + 2 - \sqrt{(1 - 2x)^{2}}$
$= 3x + 2 - |1 - 2x|$
(利用性质“$\sqrt{a^{2}} = |a|$”化简二次根式)
$= 3x + 2 - (2x - 1)$
$= 3x + 2 - 2x + 1$ (去括号)
$= x + 3$。 (合并同类项)

$x + 3$

原式$=3x + 2 - \sqrt{(1 - 2x)^{2}}$
$=3x + 2 - |1 - 2x|$
因为$x ＞ \frac{1}{2}$，所以$1 - 2x＜0$，则$|1 - 2x| = 2x - 1$
$=3x + 2 - (2x - 1)$
$=3x + 2 - 2x + 1$
$=x + 3$

1. 下列等式正确的是()

A.$(\sqrt{3})^{2} = 3$
B.$\sqrt{(-3)^{2}} = -3$
C.$\sqrt{3^{3}} = 3$
D.$(-\sqrt{3})^{2} = -3$

A

A. 根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2 = a$（$a ≥ 0$），所以$(\sqrt{3})^2 = 3$，正确；
B. 根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2} = |a|$，所以$\sqrt{(-3)^2} = 3$，不等于$-3$，错误；
C. $\sqrt{3^3} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，不等于$3$，错误；
D. $(-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$，不等于$-3$，错误。

2. 若$1 ＜ x ＜ 2$，则$|x - 3| + \sqrt{(x - 1)^{2}}$的值为()

A.$2x - 4$
B.$-2$
C.$4 - 2x$
D.$2$

D

已知 $1 ＜ x ＜ 2$，
首先考虑绝对值部分 $|x - 3|$，由于 $x ＜ 2$，则 $x - 3 ＜ 0$，所以 $|x - 3| = 3 - x$。
接着考虑二次根式部分 $\sqrt{(x - 1)^{2}}$，
由于平方根和平方是逆运算因此$\sqrt{(x - 1)^{2}} = |x - 1|$，
由于 $1 ＜ x$，则 $x - 1 ＞ 0$，所以 $|x - 1| = x - 1$。
将这两部分相加，得到：
$|x - 3| + \sqrt{(x - 1)^{2}} = (3 - x) + (x - 1) = 2$。

3. 计算：
(1) $(-\sqrt{5})^{2} =$；
(2) $(-2\sqrt{\frac{1}{2}})^{2} =$；
(3) $(-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}})^{2} =$；
(4) $(\sqrt{11})^{2} =$。

(1)5；(2)2；(3)$\frac{3}{2}$；(4)11。

(1) 根据二次根式性质 $(\sqrt{a} )^{2}=a(a≥0)$，对于$(-\sqrt{5})^{2}$，先确定$(-\sqrt{5})^{2}=(-1)^{2}×(\sqrt{5})^{2}$，因为$(\sqrt{5})^{2}=5$，$(-1)^{2}=1$，所以$(-\sqrt{5})^{2}=5$。
(2) 对于$(-2\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}$，根据积的乘方$(ab)^n = a^n b^n$，可得$(-2\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}=(-2)^{2}×(\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}$，$(-2)^{2}=4$，$(\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}=\frac{1}{2}$，则$4×\frac{1}{2}=2$。
(3) 对于$(-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}$，根据积的乘方$(ab)^n = a^n b^n$，有$(-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}=(-\frac{3}{2})^{2}×(\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}$，$(-\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}$，$(\sqrt{\frac{2}{3}})^{2}=\frac{2}{3}$，所以$\frac{9}{4}×\frac{2}{3}=\frac{3}{2}$。
(4) 根据二次根式性质 $(\sqrt{a} )^{2}=a(a≥0)$，对于$(\sqrt{11})^{2}$，直接可得$(\sqrt{11})^{2}=11$。