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7. 如图，有一张直径为 $a + 2b$ 的圆形纸片，从中挖去直径为 $a$，$b$，$b$ 的三张圆形纸片，求剩下纸片的面积.
答案
解：大圆形纸片的半径为 $\frac{a + 2b}{2}$，面积为 $π (\frac{a + 2b}{2})^2$。
直径为 $a$ 的圆形纸片半径为 $\frac{a}{2}$，面积为 $π (\frac{a}{2})^2$。
直径为 $b$ 的圆形纸片半径为 $\frac{b}{2}$，两个这样的圆形纸片面积和为 $2 × π (\frac{b}{2})^2$。
剩下纸片的面积 = 大圆形面积 - 三个小圆面积，即：
$\begin{aligned}&π (\frac{a + 2b}{2})^2 - π (\frac{a}{2})^2 - 2 × π (\frac{b}{2})^2\\=&π [\frac{(a + 2b)^2}{4} - \frac{a^2}{4} - 2 × \frac{b^2}{4}]\\=&π [\frac{a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 - 2b^2}{4}]\\=&π [\frac{4ab + 2b^2}{4}]\\=&π (ab + \frac{b^2}{2})\\=&abπ + \frac{1}{2}b^2π\end{aligned}$
答：剩下纸片的面积为 $abπ + \frac{1}{2}b^2π$。
直径为 $a$ 的圆形纸片半径为 $\frac{a}{2}$，面积为 $π (\frac{a}{2})^2$。
直径为 $b$ 的圆形纸片半径为 $\frac{b}{2}$，两个这样的圆形纸片面积和为 $2 × π (\frac{b}{2})^2$。
剩下纸片的面积 = 大圆形面积 - 三个小圆面积，即：
$\begin{aligned}&π (\frac{a + 2b}{2})^2 - π (\frac{a}{2})^2 - 2 × π (\frac{b}{2})^2\\=&π [\frac{(a + 2b)^2}{4} - \frac{a^2}{4} - 2 × \frac{b^2}{4}]\\=&π [\frac{a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 - 2b^2}{4}]\\=&π [\frac{4ab + 2b^2}{4}]\\=&π (ab + \frac{b^2}{2})\\=&abπ + \frac{1}{2}b^2π\end{aligned}$
答：剩下纸片的面积为 $abπ + \frac{1}{2}b^2π$。
8. 已知 $x + y = 3$，$xy = 1$，求下列各式的值.
(1) $x^4 + y^4$；
(2) $(x + 1)(y + 1)(x - 1)(y - 1)$.
(1) $x^4 + y^4$；
(2) $(x + 1)(y + 1)(x - 1)(y - 1)$.
答案
(1)47；(2)-5.
解析
(1)∵x+y=3，xy=1，
∴x²+y²=(x+y)²-2xy=3²-2×1=7，
∴x⁴+y⁴=(x²+y²)²-2(xy)²=7²-2×1²=49-2=47.
(2)(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)=[(x+1)(x-1)][(y+1)(y-1)]=(x²-1)(y²-1)
=x²y²-x²-y²+1=(xy)²-(x²+y²)+1=1²-7+1=-5.
∴x²+y²=(x+y)²-2xy=3²-2×1=7，
∴x⁴+y⁴=(x²+y²)²-2(xy)²=7²-2×1²=49-2=47.
(2)(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)=[(x+1)(x-1)][(y+1)(y-1)]=(x²-1)(y²-1)
=x²y²-x²-y²+1=(xy)²-(x²+y²)+1=1²-7+1=-5.
