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变式训练
1. 一组从小到大排列的数据1，2，3，$ x $，4，5，6，7，8，$ y $，9，10的第一四分位数为(
A.3
B.$\frac{3 + x}{2}$
C.8
D.$\frac{8 + y}{2}$
1. 一组从小到大排列的数据1，2，3，$ x $，4，5，6，7，8，$ y $，9，10的第一四分位数为(
B
)A.3
B.$\frac{3 + x}{2}$
C.8
D.$\frac{8 + y}{2}$
答案
1.B
解析
【解析】
首先确定数据个数$n=12$，计算第一四分位数的位置：$i = 12×25\% = 3$。
由于$i$为整数，根据四分位数的计算规则，第一四分位数为第$i$项与第$i+1$项数据的平均值，即第3项数据3和第4项数据$x$的平均值，为$\frac{3 + x}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
四分位数的计算
【点评】
本题考查第一四分位数的计算方法，关键是掌握四分位数位置的确定规则，当位置为整数时需取对应两项数据的平均值。
【难度系数】
0.4
首先确定数据个数$n=12$，计算第一四分位数的位置：$i = 12×25\% = 3$。
由于$i$为整数，根据四分位数的计算规则，第一四分位数为第$i$项与第$i+1$项数据的平均值，即第3项数据3和第4项数据$x$的平均值，为$\frac{3 + x}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
四分位数的计算
【点评】
本题考查第一四分位数的计算方法，关键是掌握四分位数位置的确定规则，当位置为整数时需取对应两项数据的平均值。
【难度系数】
0.4
2. 某公司对12名员工进行季度绩效评分，分数（单位：分）如下：42，45，48，50，52，55，58，60，62，65，68，70。求该组数据的四分位数。
答案
2.解:该组数据的第一四分位数是 49,中位数是 56.5,第三四分位数是 63.5.
解析
【解析】
该组数据已按从小到大排序，数据个数$ n=12 $：
1. 第一四分位数（$ Q_1 $）位置：$\frac{n+1}{4}=\frac{12+1}{4}=3.25$，则$ Q_1 = 48 + 0.25×(50-48)=49 $；
2. 中位数（第二四分位数$ Q_2 $）位置：$\frac{n+1}{2}=\frac{12+1}{2}=6.5$，则$ Q_2 = \frac{55+58}{2}=56.5 $；
3. 第三四分位数（$ Q_3 $）位置：$\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3×(12+1)}{4}=9.75$，则$ Q_3 = 62 + 0.75×(65-62)=63.5 $。
【答案】
第一四分位数是49，中位数是56.5，第三四分位数是63.5
【知识点】
四分位数计算
【点评】
本题考查统计中四分位数的求解，核心是掌握四分位数的位置计算公式及对应数据的加权平均方法，数据已排序，降低了计算难度，需准确计算位置并进行相应运算。
【难度系数】
0.4
该组数据已按从小到大排序，数据个数$ n=12 $：
1. 第一四分位数（$ Q_1 $）位置：$\frac{n+1}{4}=\frac{12+1}{4}=3.25$，则$ Q_1 = 48 + 0.25×(50-48)=49 $；
2. 中位数（第二四分位数$ Q_2 $）位置：$\frac{n+1}{2}=\frac{12+1}{2}=6.5$，则$ Q_2 = \frac{55+58}{2}=56.5 $；
3. 第三四分位数（$ Q_3 $）位置：$\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3×(12+1)}{4}=9.75$，则$ Q_3 = 62 + 0.75×(65-62)=63.5 $。
【答案】
第一四分位数是49，中位数是56.5，第三四分位数是63.5
【知识点】
四分位数计算
【点评】
本题考查统计中四分位数的求解，核心是掌握四分位数的位置计算公式及对应数据的加权平均方法，数据已排序，降低了计算难度，需准确计算位置并进行相应运算。
【难度系数】
0.4
【例2】从某试验田种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取10株，分别测量它们的株高（单位：cm）如下：
甲：29，31，30，32，28，31，29，29，30，30；
乙：27，44，40，32，42，42，39，32，35，39。
（1）分别计算甲、乙两种玉米苗的株高的四分位数；
（2）根据计算结果绘制甲、乙两种玉米苗的株高的箱线图。
解：
【规律方法】
箱线图的画法
（1）计算四分位数。
（2）绘制箱线图：
① 确定范围：明确数据的最小值和最大值，确定数据的范围。
② 标记关键值：在图上标记出$ Q_{1} $，$ Q_{2} $，$ Q_{3} $的位置。
③ 绘制图形：从$ Q_{1} $到$ Q_{3} $之间画矩形箱体，箱体中用线表示$ Q_{2} $，从箱体两端向最小值和最大值画须线。
甲：29，31，30，32，28，31，29，29，30，30；
乙：27，44，40，32，42，42，39，32，35，39。
（1）分别计算甲、乙两种玉米苗的株高的四分位数；
（2）根据计算结果绘制甲、乙两种玉米苗的株高的箱线图。
解：
【规律方法】
箱线图的画法
（1）计算四分位数。
（2）绘制箱线图：
① 确定范围：明确数据的最小值和最大值，确定数据的范围。
② 标记关键值：在图上标记出$ Q_{1} $，$ Q_{2} $，$ Q_{3} $的位置。
③ 绘制图形：从$ Q_{1} $到$ Q_{3} $之间画矩形箱体，箱体中用线表示$ Q_{2} $，从箱体两端向最小值和最大值画须线。
答案
【例 2】解:(1)甲种玉米苗的株高的第一四分位数为 29,中位数为 30,第三四分位数为 31.乙种玉米苗的株高的第一四分位数为 32,中位数为 39,第三四分位数为 42.
(2)甲、乙两种玉米苗的株高的箱线图如图所示.
解析
【解析】
（1）计算甲、乙两种玉米苗株高的四分位数：
① 对甲的株高数据排序：28，29，29，29，30，30，30，31，31，32（共10个数据）
第一四分位数$Q_1$的位置：$(10+1)×25\%=2.75$，取第3个数据，即$Q_1=29$；
中位数（第二四分位数$Q_2$）的位置：$(10+1)×50\%=5.5$，取第5和第6个数据的平均值，即$Q_2=\frac{30+30}{2}=30$；
第三四分位数$Q_3$的位置：$(10+1)×75\%=8.25$，取第9个数据，即$Q_3=31$。
② 对乙的株高数据排序：27，32，32，35，39，39，40，42，42，44（共10个数据）
第一四分位数$Q_1$的位置：$(10+1)×25\%=2.75$，取第3个数据，即$Q_1=32$；
中位数（第二四分位数$Q_2$）的位置：$(10+1)×50\%=5.5$，取第5和第6个数据的平均值，即$Q_2=\frac{39+39}{2}=39$；
第三四分位数$Q_3$的位置：$(10+1)×75\%=8.25$，取第9个数据，即$Q_3=42$。
（2）绘制箱线图：
① 甲的株高范围为28~32，标记$Q_1=29$，$Q_2=30$，$Q_3=31$，绘制箱体和须线；
② 乙的株高范围为27~44，标记$Q_1=32$，$Q_2=39$，$Q_3=42$，绘制箱体和须线（具体图形参考参考答案）。
【答案】
（1）甲种玉米苗株高的第一四分位数为29，中位数为30，第三四分位数为31；乙种玉米苗株高的第一四分位数为32，中位数为39，第三四分位数为42。
（2）甲、乙两种玉米苗株高的箱线图如图所示（图形见参考答案）。
【知识点】
四分位数计算、箱线图绘制
【点评】
本题通过计算两组数据的四分位数并绘制箱线图，可直观对比甲、乙两种玉米苗株高的分布特征，甲的株高更集中，乙的株高波动较大，体现了统计图表在数据分析中的直观性作用，帮助理解数据的离散程度与集中趋势。
【难度系数】
0.6
（1）计算甲、乙两种玉米苗株高的四分位数：
① 对甲的株高数据排序：28，29，29，29，30，30，30，31，31，32（共10个数据）
第一四分位数$Q_1$的位置：$(10+1)×25\%=2.75$，取第3个数据，即$Q_1=29$；
中位数（第二四分位数$Q_2$）的位置：$(10+1)×50\%=5.5$，取第5和第6个数据的平均值，即$Q_2=\frac{30+30}{2}=30$；
第三四分位数$Q_3$的位置：$(10+1)×75\%=8.25$，取第9个数据，即$Q_3=31$。
② 对乙的株高数据排序：27，32，32，35，39，39，40，42，42，44（共10个数据）
第一四分位数$Q_1$的位置：$(10+1)×25\%=2.75$，取第3个数据，即$Q_1=32$；
中位数（第二四分位数$Q_2$）的位置：$(10+1)×50\%=5.5$，取第5和第6个数据的平均值，即$Q_2=\frac{39+39}{2}=39$；
第三四分位数$Q_3$的位置：$(10+1)×75\%=8.25$，取第9个数据，即$Q_3=42$。
（2）绘制箱线图：
① 甲的株高范围为28~32，标记$Q_1=29$，$Q_2=30$，$Q_3=31$，绘制箱体和须线；
② 乙的株高范围为27~44，标记$Q_1=32$，$Q_2=39$，$Q_3=42$，绘制箱体和须线（具体图形参考参考答案）。
【答案】
（1）甲种玉米苗株高的第一四分位数为29，中位数为30，第三四分位数为31；乙种玉米苗株高的第一四分位数为32，中位数为39，第三四分位数为42。
（2）甲、乙两种玉米苗株高的箱线图如图所示（图形见参考答案）。
【知识点】
四分位数计算、箱线图绘制
【点评】
本题通过计算两组数据的四分位数并绘制箱线图，可直观对比甲、乙两种玉米苗株高的分布特征，甲的株高更集中，乙的株高波动较大，体现了统计图表在数据分析中的直观性作用，帮助理解数据的离散程度与集中趋势。
【难度系数】
0.6
变式训练
3. 为了解甲、乙两种品牌同类产品的质量情况，分别从甲、乙两种品牌产品中随机抽取10件进行质量检测，质量得分（单位：分）如下：
甲品牌：75，80，82，85，88，90，92，95，98，100；
乙品牌：70，75，80，85，90，92，95，98，100，105。
（1）分别计算甲、乙两种品牌产品质量得分的四分位数；
（2）根据计算结果绘制甲、乙两种品牌产品质量得分的箱线图，并比较两种品牌产品质量的差异。
3. 为了解甲、乙两种品牌同类产品的质量情况，分别从甲、乙两种品牌产品中随机抽取10件进行质量检测，质量得分（单位：分）如下：
甲品牌：75，80，82，85，88，90，92，95，98，100；
乙品牌：70，75，80，85，90，92，95，98，100，105。
（1）分别计算甲、乙两种品牌产品质量得分的四分位数；
（2）根据计算结果绘制甲、乙两种品牌产品质量得分的箱线图，并比较两种品牌产品质量的差异。
答案
3.解:(1)甲品牌产品质量得分的第一四分位数为 82,中位数为(88+90)÷2=89,第三四分位数为 95.乙品牌产品质量得分的第一四分位数为 80,中位数为(90+92)÷2=91,第三四分位数为 98.
(2)甲、乙两种品牌产品质量得分的箱线图如图所示.
通过箱线图可以看出,甲品牌产品质量得分的中位数 89 略低于乙品牌的中位数 91,说明乙品牌产品质量得分的中间水平稍高;甲品牌产品质量得分的第一四分位数 82 高于乙品牌的第一四分位数 80,甲品牌产品质量得分的第三四分位数 95 低于乙品牌的第三四分位数 98,说明甲品牌产品质量得分相对更集中,乙品牌产品质量得分的波动范围更大.(答案合理即可)
解析
【解析】
（1）计算四分位数时，先将数据从小到大排列，再根据四分位数位置公式$i=n× p$（$n$为数据个数，$p$为分位比）确定位置，位置为整数时取对应数据，为小数时向上取整取对应数据，中位数取中间两个数据的平均值。
甲品牌数据已排序：75，80，82，85，88，90，92，95，98，100。
第一四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应数据82；中位数：$(88+90)÷2=89$；第三四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应数据95。
乙品牌数据已排序：70，75，80，85，90，92，95，98，100，105。
第一四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应数据80；中位数：$(90+92)÷2=91$；第三四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应数据98。
（2）根据计算得到的四分位数及最值绘制箱线图；通过箱线图的中位数、四分位距等特征比较差异：甲品牌中位数低于乙品牌，乙品牌中间质量水平稍高；甲品牌四分位距更小，得分更集中，乙品牌得分波动范围更大。
【答案】
（1）甲品牌的第一四分位数为82，中位数为89，第三四分位数为95；乙品牌的第一四分位数为80，中位数为91，第三四分位数为98。
（2）箱线图绘制略；差异：乙品牌产品质量得分的中间水平稍高于甲品牌；甲品牌产品质量得分相对更集中，乙品牌产品质量得分的波动范围更大。
【知识点】
四分位数计算、箱线图分析、数据差异比较
【点评】
本题考查统计中四分位数的计算与箱线图的应用，通过分析两组数据的数字特征比较产品质量差异，需熟练掌握四分位数计算方法及箱线图解读逻辑，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）计算四分位数时，先将数据从小到大排列，再根据四分位数位置公式$i=n× p$（$n$为数据个数，$p$为分位比）确定位置，位置为整数时取对应数据，为小数时向上取整取对应数据，中位数取中间两个数据的平均值。
甲品牌数据已排序：75，80，82，85，88，90，92，95，98，100。
第一四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应数据82；中位数：$(88+90)÷2=89$；第三四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应数据95。
乙品牌数据已排序：70，75，80，85，90，92，95，98，100，105。
第一四分位数位置：$10×25\%=2.5$，向上取整为3，对应数据80；中位数：$(90+92)÷2=91$；第三四分位数位置：$10×75\%=7.5$，向上取整为8，对应数据98。
（2）根据计算得到的四分位数及最值绘制箱线图；通过箱线图的中位数、四分位距等特征比较差异：甲品牌中位数低于乙品牌，乙品牌中间质量水平稍高；甲品牌四分位距更小，得分更集中，乙品牌得分波动范围更大。
【答案】
（1）甲品牌的第一四分位数为82，中位数为89，第三四分位数为95；乙品牌的第一四分位数为80，中位数为91，第三四分位数为98。
（2）箱线图绘制略；差异：乙品牌产品质量得分的中间水平稍高于甲品牌；甲品牌产品质量得分相对更集中，乙品牌产品质量得分的波动范围更大。
【知识点】
四分位数计算、箱线图分析、数据差异比较
【点评】
本题考查统计中四分位数的计算与箱线图的应用，通过分析两组数据的数字特征比较产品质量差异，需熟练掌握四分位数计算方法及箱线图解读逻辑，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.6
