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14. 下列多项式中,可以用乘法公式计算的有 (
①$(a - b)(b - a)$;
②$(2m^{2}n + 3mn^{2})(2m^{2}n - 3mn^{2})$;
③$(x - y)(-x - y)$;
④$(-a + bx)(a - bx)$.
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
D
)①$(a - b)(b - a)$;
②$(2m^{2}n + 3mn^{2})(2m^{2}n - 3mn^{2})$;
③$(x - y)(-x - y)$;
④$(-a + bx)(a - bx)$.
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案
14. D
15. 若有理数$m$满足$(m - 2023)^{2}+(2024 - m)^{2}=2025$,则$(m - 2023)(2024 - m)=$
$-1012$
.答案
15. $-1012$
16. 已知$2a^{2}-a - 3 = 0$,则$(2a + 3)(2a - 3)+(2a - 1)^{2}$的值是 (
A.$6$
B.$-5$
C.$-3$
D.$4$
D
)A.$6$
B.$-5$
C.$-3$
D.$4$
答案
16. D
17. 小聪同学在学习整式乘法运算时发现,如果合理地使用乘法公式,那么可以简化运算.有这样一道题:
先化简,再求值:$(2x - 3y)^{2}-(x - 2y)(x + 2y)$,其中$x = -1,y = 1$.
他是这样做的:
解:原式$=4x^{2}-6xy + 3y^{2}-x^{2}-2y^{2}$
$=3x^{2}-6xy + y^{2}$.
当$x = -1,y = 1$时,
原式$=3× (-1)^{2}-6× (-1)× 1 + 1^{2}$
$=3 - 6 + 1$
$=-2$.
(1) 小聪在此题的计算中运用了哪些乘法公式,请用含$a,b$的式子表示出来:
(2) 小明看到小聪的做法后,对他说:"你做错了."帮助小聪写出此题的正确解答过程.
先化简,再求值:$(2x - 3y)^{2}-(x - 2y)(x + 2y)$,其中$x = -1,y = 1$.
他是这样做的:
解:原式$=4x^{2}-6xy + 3y^{2}-x^{2}-2y^{2}$
$=3x^{2}-6xy + y^{2}$.
当$x = -1,y = 1$时,
原式$=3× (-1)^{2}-6× (-1)× 1 + 1^{2}$
$=3 - 6 + 1$
$=-2$.
(1) 小聪在此题的计算中运用了哪些乘法公式,请用含$a,b$的式子表示出来:
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$, $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$
.(2) 小明看到小聪的做法后,对他说:"你做错了."帮助小聪写出此题的正确解答过程.
答案
17. 解:(1)$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$, $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$
(2)原式$=4x^{2} - 12xy + 9y^{2} - x^{2} + 4y^{2} = 3x^{2} - 12xy + 13y^{2}$. 当$x = -1$, $y = 1$时, 原式$=3×(-1)^{2} - 12×(-1)×1 + 13×1^{2} = 3 + 12 + 13 = 28$.
(2)原式$=4x^{2} - 12xy + 9y^{2} - x^{2} + 4y^{2} = 3x^{2} - 12xy + 13y^{2}$. 当$x = -1$, $y = 1$时, 原式$=3×(-1)^{2} - 12×(-1)×1 + 13×1^{2} = 3 + 12 + 13 = 28$.
18. 新考向 情境素材(2024·广元)2023年10月,三位"追光"科学家被授予诺贝尔物理学奖,以表彰他们"为研究物质中的电子动力学而开发产生出阿秒光脉冲的实验方法".什么是阿秒?$1$阿秒是$10^{-18}$秒,也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是$43$阿秒,将$43$阿秒用科学记数法表示为
$4.3×10^{-17}$
秒.答案
18. $4.3×10^{-17}$
19. 我们知道,将完全平方公式$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab + b^{2}$适当地变形,可以解决很多数学问题.请你观察、思考,并解决以下问题:
(1) 若$m + n = 9,mn = 10$,求$m^{2}+n^{2}$的值.
(2) 如图,某农家乐准备在原长方形院子(即长方形$ABCD$)上进行装修和扩建,先用长为$120m$的装饰性篱笆围起该长方形院子,再以$AD,CD$为边分别向外扩建正方形$ADGH$、正方形$DCEF$的空地,并在两块正方形空地上建造功能性花园.若功能性花园的面积和为$2000m^{2}$,求原长方形院子$ABCD$的面积.
]
(1) 若$m + n = 9,mn = 10$,求$m^{2}+n^{2}$的值.
(2) 如图,某农家乐准备在原长方形院子(即长方形$ABCD$)上进行装修和扩建,先用长为$120m$的装饰性篱笆围起该长方形院子,再以$AD,CD$为边分别向外扩建正方形$ADGH$、正方形$DCEF$的空地,并在两块正方形空地上建造功能性花园.若功能性花园的面积和为$2000m^{2}$,求原长方形院子$ABCD$的面积.
]答案
19. 解:(1)$\because (m + n)^{2} = m^{2} + n^{2} + 2mn$, $\therefore m^{2} + n^{2} = (m + n)^{2} - 2mn = 9^{2} - 2×10 = 61$. (2)设$AB = x$ m, $BC = y$ m, 则$2(x + y) = 120$, $\therefore x + y = 60$. 由题意, 得$x^{2} + y^{2} = 2000$, $\therefore 2xy = (x + y)^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 60^{2} - 2000 = 1600$. $\therefore xy = 800$. $\therefore S_{长方形ABCD} = xy = 800$ $m^{2}$. 答: 原长方形院子$ABCD$的面积为$800$ $m^{2}$.
