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19. 为了解学生对所学知识的应用能力,某校老师在七年级数学兴趣小组活动中,设置了这样的问题:因为池塘两端$A$,$B$的距离无法直接测量,请同学们设计方案测量$A$,$B$的距离.甲、乙两名同学分别设计出了如下方案.
甲:如图$1$,在平地上取一个可以直接到达点$A$,$B$的点$O$,连接$AO$并延长到点$C$,连接$BO$并延长到点$D$,使$CO = AO$,$DO = BO$,连接$DC$,测出$DC$的长即可.
乙:如图$2$,先确定直线$AB$,过点$B$作直线$BE$,在直线$BE$上找可以直接到达点$A$的一点$D$,连接$DA$,作$∠ADB = ∠BDC$,交直线$AB$于点$C$,最后测量$BC$的长即可.
(1)甲、乙两名同学的方案哪个可行? 请说明理由.
(2)请将不可行的方案稍加修改使之可行,你的修改是:
甲:如图$1$,在平地上取一个可以直接到达点$A$,$B$的点$O$,连接$AO$并延长到点$C$,连接$BO$并延长到点$D$,使$CO = AO$,$DO = BO$,连接$DC$,测出$DC$的长即可.
乙:如图$2$,先确定直线$AB$,过点$B$作直线$BE$,在直线$BE$上找可以直接到达点$A$的一点$D$,连接$DA$,作$∠ADB = ∠BDC$,交直线$AB$于点$C$,最后测量$BC$的长即可.
(1)甲、乙两名同学的方案哪个可行? 请说明理由.
(2)请将不可行的方案稍加修改使之可行,你的修改是:
$ D B ⊥ A C $
,并说明理由.答案
19. 解:(1)甲同学的方案可行.理由:由题意可知,在$ △ A B O $和$ △ C D O $中,$ \{ \begin{array} { l } { O A = O C }, \\ { ∠ A O B = ∠ C O D }, \\ { O B = O D }, \end{array} $$ \therefore △ A B O ≌ △ C D O ( S A S ) $.$ \therefore A B = C D $.故甲同学的方案可行.(2)$ D B ⊥ A C $理由:在$ △ D B A $和$ △ D B C $中,$ \{ \begin{array} { l } { ∠ A D B = ∠ C D B }, \\ { D B = D B }, \\ { ∠ D B A = ∠ D B C }, \end{array} $$ \therefore △ D B A ≌ △ D B C ( A S A ) $.$ \therefore A B = C B $.
20. 【问题背景】
如图,$AB // CD$,连接$BC$,点$E$,$F$在$BC$上,且$BF = CE$;连接$AE$,$DF$,且$∠A = ∠D$.
【问题探究】
(1)试说明:$AE = DF$.
(2)若$AB = CF$,$∠B = 30°$,回答下列问题:
①试判断$△ CDF$的形状,并说明理由.
②求$∠DFB$的度数.
如图,$AB // CD$,连接$BC$,点$E$,$F$在$BC$上,且$BF = CE$;连接$AE$,$DF$,且$∠A = ∠D$.
【问题探究】
(1)试说明:$AE = DF$.
(2)若$AB = CF$,$∠B = 30°$,回答下列问题:
①试判断$△ CDF$的形状,并说明理由.
②求$∠DFB$的度数.
答案
20. 解:(1)$ \because A B // C D $,$ \therefore ∠ B = ∠ C $.$ \because B F = C E $,$ \therefore B F + E F = C E + E F $,即$ B E = C F $.在$ △ A B E $和$ △ D C F $中,$ \because ∠ A = ∠ D $,$ ∠ B = ∠ C $,$ B E = C F $,$ \therefore △ A B E ≌ △ D C F ( A A S ) $.$ \therefore A E = D F $.(2)①$ △ C D F $是等腰三角形.理由:$ \because △ A B E ≌ △ D C F $,$ \therefore A B = C D $.$ \because A B = C F $,$ \therefore C D = C F $.$ \therefore △ C D F $是等腰三角形.②$ \because A B // C D $,$ ∠ B = 30 ^ { \circ } $,$ \therefore ∠ C = ∠ B = 30 ^ { \circ } $.$ \because △ C D F $是等腰三角形,$ \therefore ∠ D = ∠ C F D = \frac { 1 } { 2 } × ( 180 ^ { \circ } - 30 ^ { \circ } ) = 75 ^ { \circ } $.$ \therefore ∠ D F B = 180 ^ { \circ } - ∠ C F D = 105 ^ { \circ } $.
21. 如图$1$,平行四边形$ABCD$的一边$DC$向右匀速平行移动,图$2$反映它的底边$BC$的长度$l$(单位:$cm$)随时间$t$(单位:$s$)变化的情况.
(1)这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)边$DC$没有运动时,底边$BC$的长度是多少?
(3)边$DC$向右运动了多长时间?
(4)观察图$3$,在图$2$的基础上推测边$DC$在$5 s$后的运动情况是怎样的?
(5)图$4$反映了变化过程中平行四边形$ABCD$的面积$S$(单位:$cm^{2}$)随时间$t$(单位:$s$)变化的情况.
①平行四边形$ABCD$中,边$BC$上的高为
②当$t = 2 s$时,面积$S$的值为
(1)这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)边$DC$没有运动时,底边$BC$的长度是多少?
(3)边$DC$向右运动了多长时间?
(4)观察图$3$,在图$2$的基础上推测边$DC$在$5 s$后的运动情况是怎样的?
(5)图$4$反映了变化过程中平行四边形$ABCD$的面积$S$(单位:$cm^{2}$)随时间$t$(单位:$s$)变化的情况.
①平行四边形$ABCD$中,边$BC$上的高为
2
$cm$.②当$t = 2 s$时,面积$S$的值为
24
$cm^{2}$,当$t = 12 s$时,面积$S$的值为12
$cm^{2}$,说一说,$S$值是怎样随$t$值的变化而变化的?答案
21. 解:(1)这个变化过程中,自变量是时间$ t $,因变量是$ B C $的长度$ l $.(2)边$ D C $没有运动时,底边$ B C $的长度是$ 8 \mathrm { cm } $.(3)边$ D C $向右运动了$ 5 \mathrm { s } $.(4)由图3、图2可知,边$ D C $在$ 5 \mathrm { s } $后停止运动$ 3 \mathrm { s } $,再向左运动$ 6 \mathrm { s } $,与$ A B $重合.(5)①2②24 12 $ 0 ∼ 5 \mathrm { s } $,$ S $随$ t $的增大而增大;$ 5 ∼ 8 \mathrm { s } $,$ S $不变;$ 8 ∼ 14 \mathrm { s } $,$ S $随$ t $的增大而减小.
