22. 综合运用:已知$A=(x + 2y)^{2}-(x + y)(x - 2y)$,$B=(x^{3}y-\frac{5}{2}x^{2}y^{2}+xy^{2}-3xy^{3})÷(\frac{1}{2}xy)$.
(1)化简$A$和$B$.
(2)若变量$y$满足$2x - A = B - 6$,求$y$与$x$之间的关系式.
(3)在(2)的条件下,求$(x - y + 2)^{2}-x(x - 2)(x + 2)+x(xy - x - 4)$的值.

22. 解:(1)$ A = ( x + 2 y ) ^ { 2 } - ( x + y ) ( x - 2 y ) = x ^ { 2 } + 4 x y + 4 y ^ { 2 } - ( x ^ { 2 } - x y - 2 y ^ { 2 } ) = x ^ { 2 } + 4 x y + 4 y ^ { 2 } - x ^ { 2 } + x y + 2 y ^ { 2 } = 5 x y + 6 y ^ { 2 } $,$ B = ( x ^ { 3 } y - \frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x y ^ { 2 } - 3 x y ^ { 3 } ) ÷ ( \frac { 1 } { 2 } x y ) = 2 x ^ { 2 } - 5 x y + 2 y - 6 y ^ { 2 } $.(2)$ \because 2 x - A = B - 6 $,$ \therefore 2 x - 5 x y - 6 y ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } - 5 x y + 2 y - 6 y ^ { 2 } - 6 $.$ \therefore y = - x ^ { 2 } + x + 3 $.(3)$ ( x - y + 2 ) ^ { 2 } - x ( x - 2 ) ( x + 2 ) + x ( x y - x - 4 ) = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 - 2 x y + 4 x - 4 y - x ( x ^ { 2 } - 4 ) + x ^ { 2 } y - x ^ { 2 } - 4 x = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 - 2 x y + 4 x - 4 y - x ^ { 3 } + 4 x + x ^ { 2 } y - x ^ { 2 } - 4 x = - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - 2 x y + 4 x + y ^ { 2 } - 4 y + 4 $.把$ y = - x ^ { 2 } + x + 3 $代入上式,得原式$ = - x ^ { 3 } + x ^ { 2 } ( - x ^ { 2 } + x + 3 ) - 2 x ( - x ^ { 2 } + x + 3 ) + 4 x + ( - x ^ { 2 } + x + 3 ) ^ { 2 } - 4 ( - x ^ { 2 } + x + 3 ) + 4 = - x ^ { 3 } - x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 2 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 6 x + 4 x + x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 9 - 2 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } + 6 x + 4 x ^ { 2 } - 4 x - 12 + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 $.

23. 在$△ ABC$中,$AB = BC = 4$,$E$是$BC$的中点.
(1)如图,以点$B$为圆心,$BE$的长为半径作弧,分别交边$AB$,$BC$于点$D$,$E$;再分别以点$D$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧相交于点$M$,作射线$BM$交$AC$于点$F$.
①根据以上作图,你能得出什么结论?
②若$△ ABC$的面积是$6$,$P$,$N$分别为$BF$,$AB$上的点,求$PA + PN$长度的最小值.
(2)$H$是$AB$上的点,将$△ BEH$沿$EH$所在的直线对折,记点$B$的对应点为$B'$.
①当$B'E // BH$时,求$BH$的长.
②若$∠ABC = 45°$,当点$B'$落在直线$BC$上方,且$△ BHE$为等腰三角形时,求$∠BEH$的度数.

23. 解:(1)①根据作法描述,所作的是$ ∠ A B C $的平分线,即$ \therefore B F $平分$ ∠ A B C $.②如图1,过点$ C $作$ C Q ⊥ A B $于点$ Q $,则$ S _ { △ A B C } = \frac { 1 } { 2 } A B · C Q = \frac { 1 } { 2 } × 4 · C Q = 6 $,解得$ C Q = 3 $.由①可知,$ B F $平分$ ∠ A B C $,$ \therefore ∠ A B F = ∠ C B F $.$ \because A B = C B $,$ B F = B F $,$ \therefore △ A B F ≌ △ C B F ( S A S ) $.$ \therefore A F = C F $,$ ∠ A F B = ∠ C F B = \frac { 1 } { 2 } × 180 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $.又$ \because P F = P F $,$ \therefore △ A P F ≌ △ C P F ( S A S ) $.$ \therefore P A = P C $.$ \therefore P A + P N = P C + P N $.当$ P $, $ C $, $ N $三点共线,且与$ A B $垂直时,$ P A + P N $的长度最小,为$ C Q $的长,$ \therefore P A + P N $长度的最小值为3.

(2)①如图2,连接$ B B ^ { \prime } $,交$ H E $于点$ O $,由折叠的性质,得$ △ B E H ≌ △ B ^ { \prime } E H $,$ \therefore B H = B ^ { \prime } H $,$ ∠ B H O = ∠ B ^ { \prime } H O $.$ \because O H = O H $,$ \therefore △ B H O ≌ △ B ^ { \prime } H O ( S A S ) $.$ \therefore B O = B ^ { \prime } O $,$ ∠ B O H = ∠ B ^ { \prime } O H = 90 ^ { \circ } $.$ \because B ^ { \prime } E // B H $,$ \therefore ∠ E B ^ { \prime } B = ∠ H B B ^ { \prime } $.$ \because B E = B ^ { \prime } E $,$ \therefore ∠ E B ^ { \prime } B = ∠ E B B ^ { \prime } $.$ \therefore ∠ H B B ^ { \prime } = ∠ E B B ^ { \prime } $.又$ \because ∠ B O H = ∠ B O E = 90 ^ { \circ } $,$ O B = O B $,$ \therefore △ B O H ≌ △ B O E ( A S A ) $.$ \therefore O H = O E $.$ \therefore B B ^ { \prime } $垂直平分$ E H $.$ \therefore B H = B E = 2 $.②分两种情况:如图3,当$ B E = B H $时,$ ∠ B E H = ∠ B H E = \frac { 1 } { 2 } ( 180 ^ { \circ } - ∠ A B C ) = \frac { 1 } { 2 } × ( 180 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } ) = 67.5 ^ { \circ } $;如图4,当$ H B = H E $时,$ ∠ B E H = ∠ A B C = 45 ^ { \circ } $.综上所述,$ ∠ B E H $的度数为$ 67.5 ^ { \circ } $或$ 45 ^ { \circ } $.