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9. 利用边长为$x$的正方形和两边长为$m$,$n$的长方形,构造出如图所示的两个大正方形,则$x$的值为 ()
A.$\frac{55}{2}$
B.25
C.$\frac{65}{2}$
D.30
A.$\frac{55}{2}$
B.25
C.$\frac{65}{2}$
D.30
答案
D
解析
设两个大正方形的边长分别为 $a$ 和 $b$。根据图形边长关系可得：
1. 第一个大正方形边长：$x + m = n + 24$
2. 第二个大正方形边长：$x + n = m + 36$
将两式相加：$(x + m) + (x + n) = (n + 24) + (m + 36)$
化简得：$2x + m + n = m + n + 60$
消去 $m + n$，得 $2x = 60$，解得 $x = 30$。
1. 第一个大正方形边长：$x + m = n + 24$
2. 第二个大正方形边长：$x + n = m + 36$
将两式相加：$(x + m) + (x + n) = (n + 24) + (m + 36)$
化简得：$2x + m + n = m + n + 60$
消去 $m + n$，得 $2x = 60$，解得 $x = 30$。
10. 当$a$,$b$都是实数,且满足$ab = 6$,则称点$P(a + 3,2 - b)$为完美点.已知关于$x$,$y$的方程组$\{\begin{array}{l}x + y = 5,\\ x - y = 2m + 1,\end{array} $点$A(x,y)$是完美点,则$m$的值为 ( )
A.$\pm\sqrt{6}$
B.$\pm\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm\sqrt{7}$
A.$\pm\sqrt{6}$
B.$\pm\sqrt{2}$
C.$\pm\sqrt{3}$
D.$\pm\sqrt{7}$
答案
A
解析
解方程组$\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 2m + 1\end{cases}$，两式相加得$2x=2m+6$，解得$x=m+3$；两式相减得$2y=4-2m$，解得$y=2-m$。
因为点$A(x,y)$是完美点，所以存在$a,b$使$x=a+3$，$y=2-b$且$ab=6$。
则$a=x-3=(m+3)-3=m$，$b=2-y=2-(2-m)=m$。
由$ab=6$得$m· m=6$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
因为点$A(x,y)$是完美点，所以存在$a,b$使$x=a+3$，$y=2-b$且$ab=6$。
则$a=x-3=(m+3)-3=m$，$b=2-y=2-(2-m)=m$。
由$ab=6$得$m· m=6$，即$m^2=6$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
二、填空题(本题共 8 小题,第 11~12 题每小题 3 分,第 13~18 题每小题 4 分,共 30 分)
11. 计算:$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=$.
11. 计算:$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=$.
答案
$\sqrt{2}$
12. 如图,甲处表示 2 街与 5 巷的十字街口,乙处表示 5 街与 2 巷的十字路口,如果用有序数对$(2,5)$表示甲处的位置,那么乙处的位置可以表示为.
答案
(5,2)
