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一、选择题。
1. 有5名同学进行乒乓球比赛，每两名同学之间都要赛1场，一共要赛()场。
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
1. 有5名同学进行乒乓球比赛，每两名同学之间都要赛1场，一共要赛()场。
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
答案
B
解析
本题可根据组合数公式或通过分析每名同学比赛的场数来计算总的比赛场数。
方法一：从组合数角度分析，从$n$个不同元素中取出$m$（$m≤ n$）个元素的所有组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，记作$C_{n}^m$。本题中$n = 5$，$m = 2$，即$C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5×4×3!}{2×1×3!}= 10$（场）。
方法二：每名同学都要和其余$4$名同学赛一场，$5$名同学比赛的总场数为$5×4 = 20$场，但是每两名同学之间的比赛都重复计算了一次，例如甲和乙比赛与乙和甲比赛实际上是同一场比赛，所以需要除以$2$，即$20÷2 = 10$（场）。
方法一：从组合数角度分析，从$n$个不同元素中取出$m$（$m≤ n$）个元素的所有组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，记作$C_{n}^m$。本题中$n = 5$，$m = 2$，即$C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5×4×3!}{2×1×3!}= 10$（场）。
方法二：每名同学都要和其余$4$名同学赛一场，$5$名同学比赛的总场数为$5×4 = 20$场，但是每两名同学之间的比赛都重复计算了一次，例如甲和乙比赛与乙和甲比赛实际上是同一场比赛，所以需要除以$2$，即$20÷2 = 10$（场）。
2. 观察下右图，找出规律，第10个图形中最下面1层由()个正方体摆成。
A.16
B.36
C.81
D.100
A.16
B.36
C.81
D.100
答案
D
解析
由图形可知，第1个图形最下面一层有1个正方体，为1的二次方，即$1^2 = 1$。第2个图形最下面一层有4个正方体，为2的二次方，即$2^2 = 4$。第3个图形最下面一层有9个正方体，为3的二次方，即$3^2 = 9$。第4个图形最下面一层有16个正方体，为4的二次方，即$4^2 = 16$。
由此可得出规律，第$n$个图形最下面一层的正方体个数为$n^2$。
那么第10个图形最下面一层的正方体个数为$10^2 = 100$。
由此可得出规律，第$n$个图形最下面一层的正方体个数为$n^2$。
那么第10个图形最下面一层的正方体个数为$10^2 = 100$。
3. 仔细观察图形，找出变化规律，空白格内应填()。
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析
观察图形可知，每组中第二个图形为第一个图形的阴影部分形状。第一组阴影为扇形，对应第二个图形是扇形；第二组阴影为三角形，对应第二个图形是三角形；第三组阴影为长方形，故空白格应填长方形阴影，即选项B。
二、解决问题。
1. 刘勇、张华、李强一起和王老师合影留念，如果他们站成一排，王老师站在左起第二个位置，同学们任意站，一共有多少种不同的站法？如果师生都任意站，一共有多少种不同的站法？
1. 刘勇、张华、李强一起和王老师合影留念，如果他们站成一排，王老师站在左起第二个位置，同学们任意站，一共有多少种不同的站法？如果师生都任意站，一共有多少种不同的站法？
答案
6种；24种
解析
情况一：王老师站在左起第二个位置
王老师位置固定，剩余3个位置由刘勇、张华、李强排列。
第一个位置：3种选择（刘勇、张华、李强）。
第三个位置：2种选择（剩余2人）。
第四个位置：1种选择（剩余1人）。
站法总数：$3×2×1 = 6$（种）
情况二：师生都任意站
共4人（王老师+3名同学），全排列。
第一个位置：4种选择。
第二个位置：3种选择。
第三个位置：2种选择。
第四个位置：1种选择。
站法总数：$4×3×2×1 = 24$（种）
王老师位置固定，剩余3个位置由刘勇、张华、李强排列。
第一个位置：3种选择（刘勇、张华、李强）。
第三个位置：2种选择（剩余2人）。
第四个位置：1种选择（剩余1人）。
站法总数：$3×2×1 = 6$（种）
情况二：师生都任意站
共4人（王老师+3名同学），全排列。
第一个位置：4种选择。
第二个位置：3种选择。
第三个位置：2种选择。
第四个位置：1种选择。
站法总数：$4×3×2×1 = 24$（种）
2. A、B、C、D、E这5支球队进行单循环赛(每两支球队之间都要赛1场)，比赛进行到中途，发现A、B、C、D这4支球队比赛过的场次分别是4、3、2、1。这时E队赛过几场？E队和哪个队赛过？
答案
1. 单循环赛中每队最多赛4场。A赛4场，故A与B、C、D、E均赛过。
2. D赛1场，只能是与A赛过（因D未与其他队赛）。
3. B赛3场，已与A赛过，剩余2场需与C、E赛（因D未与B赛），故B与A、C、E赛过。
4. C赛2场，已与A、B赛过（C未与D、E赛），符合2场条件。
5. E与A、B赛过，共2场。
结论：E队赛过2场，和A、B队赛过。
2. D赛1场，只能是与A赛过（因D未与其他队赛）。
3. B赛3场，已与A赛过，剩余2场需与C、E赛（因D未与B赛），故B与A、C、E赛过。
4. C赛2场，已与A、B赛过（C未与D、E赛），符合2场条件。
5. E与A、B赛过，共2场。
结论：E队赛过2场，和A、B队赛过。
三、【拓展题】下面的三角形分别被分成高度相等的若干层，各图形下面的分数表示各三角形中阴影部分占整个三角形的几分之几，按规律填一填。
$\frac{3}{4}$
$\frac{5}{9}$
$\frac{7}{16}$
…
$\frac{(\space)}{(\space)}$
…
$\frac{(\space)}{(\space)}$
$\frac{3}{4}$
$\frac{5}{9}$
$\frac{7}{16}$
…
$\frac{(\space)}{(\space)}$
…
$\frac{(\space)}{(\space)}$
答案
$\frac{19}{100}$，$\frac{2n - 1}{n²}$
解析
观察已知数据：2层对应$\frac{3}{4}=\frac{2×2 - 1}{2²}$，3层对应$\frac{5}{9}=\frac{2×3 - 1}{3²}$，4层对应$\frac{7}{16}=\frac{2×4 - 1}{4²}$。规律为：分子是层数的2倍减1，分母是层数的平方。10层时，分子$2×10 - 1 = 19$，分母$10² = 100$，分数为$\frac{19}{100}$；n层时，分数为$\frac{2n - 1}{n²}$。
