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1. 有一组
邻边
相等的平行四边形叫作菱形. 菱形是一种特殊的平行四边形, 它具有平行四边形的一切性质.答案
1. 邻边
2. 菱形的特性主要有: (1) 四条边
(2) 对角线
(3) 菱形是轴对称图形, 对称轴为
(4) 菱形的两条对角线将菱形分成四个
(5) 菱形的面积为
相等
;(2) 对角线
互相垂直平分
, 并且每一条对角线平分
一组对角;(3) 菱形是轴对称图形, 对称轴为
两对角线所在的直线
;(4) 菱形的两条对角线将菱形分成四个
全等的直角三角形
;(5) 菱形的面积为
两对角线乘积的一半
.答案
2. (1) 相等 (2) 互相垂直平分 平分 (3) 两对角线所在的直线 (4) 全等的直角三角形 (5) 两对角线乘积的一半
1. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是(
A.两组对角分别相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线相等
B
)A.两组对角分别相等
B.对角线互相垂直
C.对角线互相平分
D.对角线相等
答案
1. B
2. 菱形的两条对角线的长分别是6和8, 则这个菱形的周长是(
A.24
B.20
C.10
D.5
B
)A.24
B.20
C.10
D.5
答案
2. B
解析
菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线长分别为6和8，则它们的一半分别为3和4。根据勾股定理，菱形的边长为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。菱形的周长为$4×5 = 20$。
B
B
3. 如图, 在菱形 $ABCD$ 中, $∠ BAD = 80^{\circ}$, $AB$ 的垂直平分线交对角线 $AC$ 于点 $F$, $E$ 为垂足, 连接 $DF$, 则 $∠ CDF$ 的度数为(
A.$80^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
D
)A.$80^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
3. D
解析
证明：连接BF。
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=40°，∠ADC=100°，AD=CD。
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°。
在△ADF和△CDF中，
∵AD=CD，∠DAF=∠DCF，AF=CF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠ADF=∠CDF。
∵∠ABC=180°-∠BAD=100°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=60°。
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠ADF。
∵∠CFB=180°-∠BCF-∠CBF=180°-40°-60°=80°，
∴∠AFD=∠CFB=80°。
在△ADF中，∠ADF=180°-∠DAF-∠AFD=180°-40°-80°=60°，
∴∠CDF=60°。
答案：D
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=80°，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=40°，∠ADC=100°，AD=CD。
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°。
在△ADF和△CDF中，
∵AD=CD，∠DAF=∠DCF，AF=CF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠ADF=∠CDF。
∵∠ABC=180°-∠BAD=100°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=60°。
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠ADF。
∵∠CFB=180°-∠BCF-∠CBF=180°-40°-60°=80°，
∴∠AFD=∠CFB=80°。
在△ADF中，∠ADF=180°-∠DAF-∠AFD=180°-40°-80°=60°，
∴∠CDF=60°。
答案：D
4. 如图, 平面直角坐标系中, 菱形 $OABC$ 的边 $OA$ 在 $x$ 轴的正半轴上, 点 $B$, $C$ 在第一象限, 若 $∠ AOC = 60^{\circ}$, $OA = 4\sqrt{3}$, 则对角线交点 $D$ 的坐标为(
A.$(3\sqrt{3}, 3)$
B.$(3, 3\sqrt{3})$
C.$(3, \sqrt{3})$
D.$(\sqrt{3}, 3)$
A
)A.$(3\sqrt{3}, 3)$
B.$(3, 3\sqrt{3})$
C.$(3, \sqrt{3})$
D.$(\sqrt{3}, 3)$
答案
4. A
解析
解：
∵四边形$OABC$是菱形，$OA=4\sqrt{3}$，
∴$OC=OA=4\sqrt{3}$，$D$为$AC$中点。
∵$∠AOC=60^{\circ}$，点$C$在第一象限，
∴点$C$的坐标为$(OC\cos60^{\circ},OC\sin60^{\circ})$，
即$C(4\sqrt{3}×\frac{1}{2},4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2})=(2\sqrt{3},6)$。
∵点$A$在$x$轴正半轴，$OA=4\sqrt{3}$，
∴$A(4\sqrt{3},0)$。
∵$D$是$AC$中点，
∴$D$的横坐标为$\frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
纵坐标为$\frac{6+0}{2}=3$，
∴$D(3\sqrt{3},3)$。
答案：A
∵四边形$OABC$是菱形，$OA=4\sqrt{3}$，
∴$OC=OA=4\sqrt{3}$，$D$为$AC$中点。
∵$∠AOC=60^{\circ}$，点$C$在第一象限，
∴点$C$的坐标为$(OC\cos60^{\circ},OC\sin60^{\circ})$，
即$C(4\sqrt{3}×\frac{1}{2},4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2})=(2\sqrt{3},6)$。
∵点$A$在$x$轴正半轴，$OA=4\sqrt{3}$，
∴$A(4\sqrt{3},0)$。
∵$D$是$AC$中点，
∴$D$的横坐标为$\frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
纵坐标为$\frac{6+0}{2}=3$，
∴$D(3\sqrt{3},3)$。
答案：A
5. 边长为 $3\mathrm{cm}$ 的菱形的周长是(
A.$6\mathrm{cm}$
B.$9\mathrm{cm}$
C.$12\mathrm{cm}$
D.$15\mathrm{cm}$
C
)A.$6\mathrm{cm}$
B.$9\mathrm{cm}$
C.$12\mathrm{cm}$
D.$15\mathrm{cm}$
答案
5. C
解析
菱形的四条边都相等，已知边长为$3\mathrm{cm}$，则周长为$4×3 = 12\mathrm{cm}$。
C
C
6. 如图, 在菱形 $ABCD$ 中, $AB = 6$, $∠ ABD = 30^{\circ}$, 则菱形 $ABCD$ 的面积是(
A.18
B.$18\sqrt{3}$
C.36
D.$36\sqrt{3}$
B
)A.18
B.$18\sqrt{3}$
C.36
D.$36\sqrt{3}$
答案
6. B
解析
解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AB=AD=6，
在Rt△ABO中，∠ABD=30°，AB=6，
∴AO=AB·sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，
BO=AB·cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=6，BD=2BO=6$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$.
答案：B
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AB=AD=6，
在Rt△ABO中，∠ABD=30°，AB=6，
∴AO=AB·sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，
BO=AB·cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=6，BD=2BO=6$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$.
答案：B
