5. 如图，在$△ ABC$ 中，$D$ 是边 $BC$ 上一点，$E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $BC$ 的平行线交 $CE$ 的延长线于点 $F$，且 $AF = BD$，连接 $BF$.
(1) 求证：$D$ 是 $BC$ 的中点；
(2) 若 $AB = AC$，试判断四边形 $AFBD$ 的形状，并证明你的结论.

5. (1) 证明:
∵AF//BC,
∴∠AFC = ∠FCB.
∵∠AEF = ∠DEC, AE = DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF = DC.
∵AF = BD,
∴BD = DC, 即D是BC的中点. (2) 解: 四边形AFBD是矩形. 证明:
∵AF//BC, AF = BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB = AC, D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴四边形AFBD是矩形.

6. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$BC = 4$，沿 $EF$ 折叠，折痕为 $EF$，使点 $C$ 与点 $A$ 重合，点 $D$ 与点 $G$ 重合.
(1) 求证：$AE = AF$；
(2) 求 $AE$ 的长；
(3) 求 $EF$ 的长.

6. 提示: (1) 证∠AFE = ∠FEC = ∠FEA. (2) 解: 设CE = AE = AF = x, 则BE = 4 - x. 在Rt△ABE中, AE² = AB² + BE², 即x² = 3² + (4 - x)², 解得x = $\frac{25}{8}$. (3) 解: 过点E作EM⊥AF于点M, MF = AF - AM = $\frac{9}{4}$, EM = 3,
∴在Rt△MEF中, EF = $\sqrt{EM² + MF²}$ = $\frac{15}{4}$.

7. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，连接 $BD$，$E$ 为线段 $AD$ 的中点，延长 $BE$ 与 $CD$ 的延长线交于点 $F$，连接 $AF$，$∠ BDF = 90^{\circ}$.
(1) 求证：四边形 $ABDF$ 是矩形；
(2) 若 $AD = 5$，$DF = 3$，求四边形 $ABCF$ 的面积 $S$.

7. (1) 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BA//CD,
∴∠BAE = ∠FDE.
∵E是AD的中点,
∴AE = DE. 在△BEA和△FED中, $\begin{cases} ∠BAE = ∠FDE, \\ AE = DE, \\ ∠BEA = ∠FED, \end{cases}$
∴△BEA≌△FED(ASA),
∴EF = EB. 又
∵AE = DE,
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵∠BDF = 90°,
∴四边形ABDF是矩形. (2) 解: 由(1)得四边形ABDF是矩形,
∴∠AFD = 90°, AB = DF = 3, AF = BD,
∴AF = $\sqrt{AD² - DF²}$ = $\sqrt{5² - 3²}$ = 4,
∴S_{矩形ABDF} = DF·AF = 3×4 = 12, BD = AF = 4.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD = AB = 3,
∴S_{△BCD} = $\frac{1}{2}$BD·CD = $\frac{1}{2}$×4×3 = 6,
∴四边形ABCF的面积S = S_{矩形ABDF} + S_{△BCD} = 12 + 6 = 18.