7. 已知菱形的周长为8, 两邻角的度数比为 $1:2$, 则菱形的面积为()

A.$8\sqrt{3}$
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

7. D

∵菱形周长为8，
∴边长为$8÷4=2$。
∵菱形两邻角互补且度数比为$1:2$，
设较小角为$α$，则$2α+α=180°$，
解得$α=60°$。
过菱形一顶点作高$h$，在直角三角形中，$h=2×\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
面积为$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
D

1. 如图, 已知 $AC$, $BD$ 是菱形 $ABCD$ 的对角线, 那么下列结论一定正确的是()

A.$△ ABD$ 与 $△ ABC$ 的周长相等
B.$△ ABD$ 与 $△ ABC$ 的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍

1. B

证明：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AB=BC=CD=AD$，$AC⊥ BD$，且对角线互相平分。
选项A：$△ ABD$周长$=AB+BD+AD$，$△ ABC$周长$=AB+BC+AC$。
∵菱形对角线$AC≠ BD$（除非为正方形），
∴周长不相等，A错误。
选项B：$△ ABD$与$△ ABC$同底$AB$，且高均为菱形对边间距离，故面积相等，B正确。
选项C：设菱形边长为$a$，对角线为$AC=m$，$BD=n$，则周长$=4a$。由菱形性质$a=\frac{1}{2}\sqrt{m^2+n^2}$，$4a=2\sqrt{m^2+n^2}≠ 2(m+n)$，C错误。
选项D：菱形面积$=\frac{1}{2}AC· BD$，D错误。
结论：正确选项为B。
B

2. 如图, 在菱形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$, $H$ 为边 $AD$ 的中点, 菱形 $ABCD$ 的周长为28, 则 $OH$ 的长为()

A.3.5
B.4
C.7
D.14

2. A

解：
∵菱形$ABCD$的周长为28，
∴菱形边长$AB = BC = CD = DA=\frac{28}{4}=7$。
∵菱形对角线互相垂直，$AC⊥ BD$，
∴$△ AOD$是直角三角形。
∵$H$为$AD$中点，
∴$OH$是$Rt△ AOD$斜边$AD$的中线，
∴$OH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×7 = 3.5$。
答案：A

3. 如图, 在菱形 $ABCD$ 中, $AB = 5$, 对角线 $AC = 6$, 过点 $A$ 作 $AE ⊥ BC$, 垂足为 $E$, 则 $AE$ 的长为()

A.4
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{24}{5}$
D.5

3. C

解：连接BD，交AC于点O。
∵菱形ABCD，AC=6，AB=5，
∴AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD。
在Rt△AOB中，$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
∴BD=2BO=8。
菱形面积$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×6×8=24$。
又
∵$S=BC· AE$，BC=AB=5，
∴$AE=\frac{S}{BC}=\frac{24}{5}$。
答案：C

4. 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, 边 $AB$ 的长为3, 点 $E$, $F$ 分别在 $AD$, $BC$ 上, 连接 $BE$, $DF$, $EF$, $BD$, 若四边形 $BEDF$ 是菱形, 且 $EF = AE + FC$, 则边 $BC$ 的长为()

A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{3}$
D.$\dfrac{9}{2}\sqrt{3}$

4. B

解：设 $ BC = AD = x $，菱形 $ BEDF $ 的边长为 $ a $。
在矩形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ ∠ A = 90° $，$ AB = 3 $。
$ AE = AD - DE = x - a $，$ FC = BC - BF = x - a $，故 $ AE = FC $。
$ EF = AE + FC = 2(x - a) $。
菱形对角线互相垂直平分，设 $ BD $ 与 $ EF $ 交于点 $ O $，则 $ BO = \frac{1}{2}BD $，$ EO = \frac{1}{2}EF = x - a $。
$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{9 + x^2} $，$ BO = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{2} $。
$ △ ABE $ 中，$ BE^2 = AB^2 + AE^2 = 9 + (x - a)^2 $，即 $ a^2 = 9 + (x - a)^2 $，化简得 $ 2ax = x^2 + 9 $ ①。
$ △ BOE $ 中，$ BE^2 = BO^2 + EO^2 $，即 $ a^2 = ( \frac{\sqrt{9 + x^2}}{2} )^2 + (x - a)^2 $，化简得 $ 4a^2 = 9 + x^2 + 4(x - a)^2 $，进一步得 $ 8ax = 5x^2 + 9 $ ②。
联立①②：由①得 $ a = \frac{x^2 + 9}{2x} $，代入②：$ 8x · \frac{x^2 + 9}{2x} = 5x^2 + 9 $，即 $ 4(x^2 + 9) = 5x^2 + 9 $，解得 $ x^2 = 27 $，$ x = 3\sqrt{3} $（负值舍去）。
$ BC = 3\sqrt{3}$
答案：B

5. 如图, 在菱形 $ABCD$ 中, $AB = 8$, 点 $E$, $F$ 分别在 $AB$, $AD$ 上, 且 $AE = AF$, 过点 $E$ 作 $EG // AD$ 交 $CD$ 于点 $G$, 过点 $F$ 作 $FH // AB$ 交 $BC$ 于点 $H$, $EG$ 与 $FH$ 交于点 $O$. 当四边形 $AEOF$ 与四边形 $CGOH$ 的周长之差为12时, $AE$ 的值为()

A.6.5
B.6
C.5.5
D.5

5. C

解：设$AE = AF = x$。
因为四边形$ABCD$是菱形，$AB = 8$，所以$AD = AB = 8$，$AB// CD$，$AD// BC$。
因为$EG// AD$，$FH// AB$，所以四边形$AEOF$、$DGOF$、$BEOH$、$CGOH$均为平行四边形。
所以$OE = AF = x$，$OF = AE = x$，$OG = BE = 8 - x$，$OH = DG = 8 - x$。
四边形$AEOF$的周长为$2(OE + OF) = 2(x + x) = 4x$。
四边形$CGOH$的周长为$2(OG + OH) = 2[(8 - x) + (8 - x)] = 2(16 - 2x) = 32 - 4x$。
由题意得$|4x - (32 - 4x)| = 12$，即$|8x - 32| = 12$。
当$8x - 32 = 12$时，$8x = 44$，$x = 5.5$；当$8x - 32 = -12$时，$8x = 20$，$x = 2.5$（舍去，因为此时周长差绝对值为12，但选项中无此答案）。
所以$AE = 5.5$。
答案：C