6. 如图, 四边形 $ABCD$ 是菱形, 对角线 $AC = 16$, $DB = 12$, $DH ⊥ AB$ 于点 $H$, 则 $DH$ 的长为.

6. 9.6

解：
∵四边形$ABCD$是菱形，$AC = 16$，$DB = 12$，
∴菱形面积$S=\frac{1}{2}× AC× DB=\frac{1}{2}×16×12 = 96$。
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴$OA=\frac{1}{2}AC = 8$，$OB=\frac{1}{2}DB = 6$，且$AC⊥BD$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。
又
∵$DH⊥AB$，菱形面积$S = AB× DH$，
∴$10× DH=96$，解得$DH = 9.6$。
9.6

7. 如图, 菱形 $ABCD$, 对角线 $AC$, $BD$ 交于点 $O$, $E$ 为 $BD$ 上一点, 过点 $E$ 分别作 $EF ⊥ AB$ 于点 $F$, 作 $EG ⊥ AD$ 于点 $G$, 若 $AC = 16$, $BD = 12$, 则 $EF + EG$ 的值为.

7. $\frac{48}{5}$

解：
∵菱形 $ABCD$ 对角线 $AC=16$，$BD=12$，
∴ $AO=\frac{1}{2}AC=8$，$BO=\frac{1}{2}BD=6$，且 $AC⊥BD$。
在 $Rt△AOB$ 中，$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
连接 $AE$，则 $S_{△ABD}=S_{△ABE}+S_{△ADE}$。
∵ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AO=\frac{1}{2}×12×8=48$，
$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EF$，$S_{△ADE}=\frac{1}{2}AD·EG$，且 $AB=AD=10$，
∴ $48=\frac{1}{2}×10·EF+\frac{1}{2}×10·EG$，
即 $48=5(EF+EG)$，解得 $EF+EG=\frac{48}{5}$。
$\frac{48}{5}$

8. 如图, 已知四边形 $ABCD$ 为菱形, 过点 $C$ 分别作 $AB$, $AD$ 的垂线, 垂足分别为 $E$, $F$, 证明: $AE = AF$.

8. 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$AB = AD = BC = CD$，$∠ B=∠ D$。在 $△ BCE$ 和 $△ DCF$ 中，$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\∠ BEC=∠ DFC,\\BC = DC,\end{cases}$
∴$△ BCE≌△ DCF(AAS)$，
∴$BE = DF$，
∴$AE = AF$。

9. 如图, 菱形 $ABCD$ 中, $P$ 是对角线 $BD$ 上的点, 点 $E$ 在 $AB$ 上, 且 $PA = PE$.
(1) 求证: $PC = PE$;
(2) 写出 $∠ CPE$ 与 $∠ ABC$ 之间的数量关系, 再说明理由.

9. (1) 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$AB = BC$，$∠ ABP=∠ CBP$。在 $△ ABP$ 和 $△ CBP$ 中，$\begin{cases}AB = CB,\\∠ ABP=∠ CBP,\\PB = PB,\end{cases}$
∴$△ ABP≌△ CBP(SAS)$，
∴$PA = PC$。
∵$PA = PE$，
∴$PC = PE$。
(2) 解：$∠ ABC+∠ CPE = 180^{\circ}$。由 (1) 证明可得 $∠ BAP=∠ BCP$，
∵$PA = PE$，
∴$∠ DAP=∠ DCP$，
∴$∠ PAE=∠ PEA$，
∴$∠ CPB=∠ AEP$。
∵$∠ AEP+∠ PEB = 180^{\circ}$，
∴$∠ PEB+∠ PCB = 180^{\circ}$，
∴$∠ ABC+∠ CPE = 180^{\circ}$。

10. 如图, 菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$, $E$ 是 $AD$ 的中点, 点 $F$, $G$ 在 $AB$ 上, $EF ⊥ AB$, $OG // EF$.
(1) 判断四边形 $OEFG$ 的形状, 并证明;
(2) 若 $AC = 8$, $BD = 6$, 求四边形 $OEFG$ 的面积.

10. 解：(1) 四边形 $OEFG$ 是矩形。在菱形 $ABCD$ 中，$DO = BO$，又
∵$E$ 是 $AD$ 的中点，
∴$AE = DE$，$OE// AB$，
∴$OE// FG$。又
∵$OG// EF$，
∴四边形 $OEFG$ 是平行四边形。
∵$EF⊥ AB$，
∴$∠ EFG = 90^{\circ}$，
∴四边形 $OEFG$ 是矩形。
(2) 菱形的面积 $=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴$BD⊥ AC$，$AO=\frac{1}{2}AC = 4$，$BO=\frac{1}{2}BD = 3$，
∴$AB = 5$。由 (1) 知，四边形 $OEFG$ 是矩形，
∴$EF = OG$，$OG⊥ AB$。
∴$\frac{1}{2}AO· BO=\frac{1}{2}AB· OG$，
∴$OG=\frac{AO· BO}{AB}=\frac{12}{5}$，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$，四边形 $OEFG$ 的面积 $=OE× OG=\frac{12}{5}×\frac{5}{2}=6$。