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9. 若$\vert a - b + 1\vert+\sqrt{a + 2b + 4}=0$，则$(a - b)^{2025}=$
-1
。答案
9. -1
解析
因为$\vert a - b + 1\vert+\sqrt{a + 2b + 4}=0$，且$\vert a - b + 1\vert≥0$，$\sqrt{a + 2b + 4}≥0$，所以$\begin{cases}a - b + 1 = 0 \\ a + 2b + 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -2 \\ b = -1\end{cases}$，则$a - b=-2 - (-1)=-1$，所以$(a - b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。
10. 已知$\sqrt{6 + 3n}$是整数，则满足条件的最小正整数$n$为
1
。答案
10. 1
解析
设$\sqrt{6 + 3n}=k$（$k$为正整数），则$6 + 3n = k^2$，$3n = k^2 - 6$，$n=\frac{k^2 - 6}{3}$。
当$k=3$时，$n=\frac{9 - 6}{3}=1$，此时$\sqrt{6 + 3×1}=\sqrt{9}=3$是整数。
满足条件的最小正整数$n$为$1$。
1
当$k=3$时，$n=\frac{9 - 6}{3}=1$，此时$\sqrt{6 + 3×1}=\sqrt{9}=3$是整数。
满足条件的最小正整数$n$为$1$。
1
11. 已知实数$a$满足$\sqrt{a - 2023}+\vert2022 - a\vert = a$，则$a - 2022^{2}=$
2023
。答案
11. 2023
解析
解：由二次根式有意义的条件得$a - 2023 ≥ 0$，即$a ≥ 2023$。
因为$a ≥ 2023$，所以$2022 - a ＜ 0$，则$\vert 2022 - a\vert = a - 2022$。
原方程可化为$\sqrt{a - 2023} + a - 2022 = a$，
移项得$\sqrt{a - 2023} = 2022$，
两边平方得$a - 2023 = 2022^2$，
所以$a - 2022^2 = 2023$。
2023
因为$a ≥ 2023$，所以$2022 - a ＜ 0$，则$\vert 2022 - a\vert = a - 2022$。
原方程可化为$\sqrt{a - 2023} + a - 2022 = a$，
移项得$\sqrt{a - 2023} = 2022$，
两边平方得$a - 2023 = 2022^2$，
所以$a - 2022^2 = 2023$。
2023
12. 阅读下面解题过程，并回答问题。
化简：$(\sqrt{1 - 3x})^{2}-\vert1 - x\vert$。
解：由隐含条件$1 - 3x≥0$，得$x≤\frac{1}{3}$。
$\therefore1 - x＞0$。
$\therefore$原式$=(1 - 3x)-(1 - x)$
$=1 - 3x - 1 + x$
$=-2x$。
按照上面的解法，试化简：$\sqrt{(x - 3)^{2}}-(\sqrt{2 - x})^{2}$。
化简：$(\sqrt{1 - 3x})^{2}-\vert1 - x\vert$。
解：由隐含条件$1 - 3x≥0$，得$x≤\frac{1}{3}$。
$\therefore1 - x＞0$。
$\therefore$原式$=(1 - 3x)-(1 - x)$
$=1 - 3x - 1 + x$
$=-2x$。
按照上面的解法，试化简：$\sqrt{(x - 3)^{2}}-(\sqrt{2 - x})^{2}$。
答案
12. 解：由隐含条件 $ 2 - x ≥ 0 $，得 $ x ≤ 2 $，则 $ x - 3 ＜ 0 $，所以原式 $ = |x - 3| - (2 - x) = -(x - 3) - 2 + x = -x + 3 - 2 + x = 1 $。
13. 二次根式$\sqrt{a}$的双重非负性是指被开方数$a≥0$，其化简的结果$\sqrt{a}≥0$，利用$\sqrt{a}$的双重非负性解决以下问题：
(1)已知$\sqrt{a - 1}+\sqrt{3 + b}=0$，则$a + b$的值为
(2)若$x$，$y$为实数，且$x^{2}=\sqrt{y - 5}+\sqrt{5 - y} + 9$，求$x + y$的值；
(3)已知实数$m$，$n$($n≠0$)满足$\vert2m - 4\vert+\vert n + 2\vert+\sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m$，求$m + n$的值。
(1)已知$\sqrt{a - 1}+\sqrt{3 + b}=0$，则$a + b$的值为
-2
；(2)若$x$，$y$为实数，且$x^{2}=\sqrt{y - 5}+\sqrt{5 - y} + 9$，求$x + y$的值；
(3)已知实数$m$，$n$($n≠0$)满足$\vert2m - 4\vert+\vert n + 2\vert+\sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m$，求$m + n$的值。
答案
13. 解：(1) $ \because \sqrt{a - 1} + \sqrt{3 + b} = 0 $，且 $ \sqrt{a - 1} ≥ 0 $，$ \sqrt{3 + b} ≥ 0 $，$ \therefore a - 1 = 0 $，且 $ 3 + b = 0 $，$ \therefore a = 1 $，$ b = -3 $，$ \therefore a + b = -2 $。
(2) $ \because x^{2} = \sqrt{y - 5} + \sqrt{5 - y} + 9 $，$ \therefore y - 5 ≥ 0 $且 $ 5 - y ≥ 0 $，$ \therefore y ≥ 5 $，且 $ y ≤ 5 $，$ \therefore y = 5 $，$ \therefore x^{2} = 9 $，$ \therefore x = \pm 3 $。当 $ x = 3 $时，$ x + y = 3 + 5 = 8 $；当 $ x = -3 $时，$ x + y = -3 + 5 = 2 $。
(3) $ \because |2m - 4| + |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m $，$ \therefore (m - 3)n^{2} ≥ 0 $，$ \therefore m ≥ 3 $，$ \therefore 2m - 4 ＞ 0 $，$ \therefore |2m - 4| + |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m $，$ 2m - 4 + |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m $，$ \therefore |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} = 0 $。$ \because |n + 2| ≥ 0 $，$ \sqrt{(m - 3)n^{2}} ≥ 0 $，$ \therefore n + 2 = 0 $，$ (m - 3)n^{2} = 0 $，$ \therefore n = -2 $，$ m = 3 $，$ \therefore m + n = 3 - 2 = 1 $。
(2) $ \because x^{2} = \sqrt{y - 5} + \sqrt{5 - y} + 9 $，$ \therefore y - 5 ≥ 0 $且 $ 5 - y ≥ 0 $，$ \therefore y ≥ 5 $，且 $ y ≤ 5 $，$ \therefore y = 5 $，$ \therefore x^{2} = 9 $，$ \therefore x = \pm 3 $。当 $ x = 3 $时，$ x + y = 3 + 5 = 8 $；当 $ x = -3 $时，$ x + y = -3 + 5 = 2 $。
(3) $ \because |2m - 4| + |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m $，$ \therefore (m - 3)n^{2} ≥ 0 $，$ \therefore m ≥ 3 $，$ \therefore 2m - 4 ＞ 0 $，$ \therefore |2m - 4| + |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m $，$ 2m - 4 + |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} + 4 = 2m $，$ \therefore |n + 2| + \sqrt{(m - 3)n^{2}} = 0 $。$ \because |n + 2| ≥ 0 $，$ \sqrt{(m - 3)n^{2}} ≥ 0 $，$ \therefore n + 2 = 0 $，$ (m - 3)n^{2} = 0 $，$ \therefore n = -2 $，$ m = 3 $，$ \therefore m + n = 3 - 2 = 1 $。
