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1. 在()里写出每组数的最大公因数,在[]里写出最小公倍数。
30 和 18()[] 15 和 45()[]
10 和 11()[] 4、5 和 6()[]
30 和 18()[] 15 和 45()[]
10 和 11()[] 4、5 和 6()[]
答案
6[90] 15[45] 1[110] 1[60]
解析
30和18：先分解质因数，30=2×3×5，18=2×3²。最大公因数是公有质因数的乘积，即2×3=6；最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积，即2×3²×5=90。
15和45：45是15的倍数，所以最大公因数是15，最小公倍数是45。
10和11：互质关系，最大公因数是1，最小公倍数是10×11=110。
4、5和6：分解质因数，4=2²，5=5，6=2×3。最大公因数是1（公有质因数为1）；最小公倍数是2²×3×5=60。
15和45：45是15的倍数，所以最大公因数是15，最小公倍数是45。
10和11：互质关系，最大公因数是1，最小公倍数是10×11=110。
4、5和6：分解质因数，4=2²，5=5，6=2×3。最大公因数是1（公有质因数为1）；最小公倍数是2²×3×5=60。
2. 判断。
(1) 所有偶数(0 除外)的最大公因数是 2。 ……………………………… ()
(2) 两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。 ……………………… ()
(3) $ a $ 是 $ x $ 和 $ y $ 的最大公因数, $ a $ 一定小于这两个数。 ………………… ()
(4) 甲数和乙数都是它们最大公因数的倍数。 ……………………………… ()
(1) 所有偶数(0 除外)的最大公因数是 2。 ……………………………… ()
(2) 两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数。 ……………………… ()
(3) $ a $ 是 $ x $ 和 $ y $ 的最大公因数, $ a $ 一定小于这两个数。 ………………… ()
(4) 甲数和乙数都是它们最大公因数的倍数。 ……………………………… ()
答案
√√×√
解析
(1)所有非0偶数都能被2整除，且没有比2更大的共同因数，最大公因数是2，正确。(2)公倍数是最小公倍数的倍数，正确。(3)当两数相等或成倍数关系时，最大公因数等于其中一个数，并非一定小于，错误。(4)最大公因数是两数的公因数，两数均能被其整除，是其倍数，正确。
3. 小军准备把一张长 24 厘米、宽 16 厘米的长方形纸剪成几个大小相同的正方形,且没有剩余。这些正方形的边长最大是多少厘米? 一共可剪成几个这样的正方形?
答案
答题卡作答：
求 24 和 16 的最大公因数：
$24=2×2×2×3$，
$16=2× 2×2×2$，
最大公因数为$2×2×2 = 8$，即正方形边长最大是 8 厘米。
长方形纸的长边可剪个数：$24÷8 = 3$（个），
长方形纸的宽边可剪个数：$16÷8 = 2$（个），
可剪成正方形个数：$3×2 = 6$（个）。
答：这些正方形的边长最大是 8 厘米，一共可剪成 6 个这样的正方形。
求 24 和 16 的最大公因数：
$24=2×2×2×3$，
$16=2× 2×2×2$，
最大公因数为$2×2×2 = 8$，即正方形边长最大是 8 厘米。
长方形纸的长边可剪个数：$24÷8 = 3$（个），
长方形纸的宽边可剪个数：$16÷8 = 2$（个），
可剪成正方形个数：$3×2 = 6$（个）。
答：这些正方形的边长最大是 8 厘米，一共可剪成 6 个这样的正方形。
4. 一个电子钟,每天整点响一次铃,每 18 分钟亮一次灯。下午 2 时整,它既响铃又亮灯,下一次既响铃又亮灯是几时?
答案
4. 响铃时间间隔：60分钟
亮灯时间间隔：18分钟
求60和18的最小公倍数：
60=2×2×3×5
18=2×3×3
最小公倍数=2×2×3×3×5=180
180分钟=3小时
下午2时+3小时=下午5时
答：下一次既响铃又亮灯是下午5时。
亮灯时间间隔：18分钟
求60和18的最小公倍数：
60=2×2×3×5
18=2×3×3
最小公倍数=2×2×3×3×5=180
180分钟=3小时
下午2时+3小时=下午5时
答：下一次既响铃又亮灯是下午5时。
5. 一种长方形瓷砖长 12 厘米,宽 10 厘米。要用这种瓷砖铺一块正方形地面,这块正方形地面的边长最小是多少厘米? 用这种瓷砖能否正好铺成边长 4 米的正方形地面? 为什么?
答案
先求$12$和$10$的最小公倍数，$12=2×2×3$，$10 = 2×5$，所以最小公倍数为$2×2×3×5=60$。
这块正方形地面的边长最小是$60$厘米。
$4$米$ = 400$厘米，$400÷12=\frac{100}{3}$，$400÷10 = 40$。
因为$\frac{100}{3}$不是整数，所以用这种瓷砖不能正好铺成边长$4$米的正方形地面。
这块正方形地面的边长最小是$60$厘米。
$4$米$ = 400$厘米，$400÷12=\frac{100}{3}$，$400÷10 = 40$。
因为$\frac{100}{3}$不是整数，所以用这种瓷砖不能正好铺成边长$4$米的正方形地面。
6. 小红打算把 50 个果冻和 34 颗樱桃平均放在几个果盘里,发现果冻剩 2 个,樱桃还差 2 颗。想一想:小红最多准备了几个果盘? 打算在每个果盘里放几个果冻和几颗樱桃?
答案
小红最多准备了12个果盘；
打算在每个果盘里放4个果冻和3颗樱桃。
打算在每个果盘里放4个果冻和3颗樱桃。
解析
解题中已知果冻实际可用数量为 $50 - 2 = 48$(个)（因为剩下2个），
樱桃实际需要数量为$ 34 + 2 = 36$(颗)（因为还差2颗）。
找到48和36的最大公因数：
48的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$，
36的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$，
最大公因数为12，即小红最多准备的果盘数为12。
每个果盘里的果冻数：$\frac{48}{12} = 4$(个)，
每个果盘里的樱桃数：$\frac{36}{12} = 3$(颗)，
最终
樱桃实际需要数量为$ 34 + 2 = 36$(颗)（因为还差2颗）。
找到48和36的最大公因数：
48的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$，
36的因数有：$1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$，
最大公因数为12，即小红最多准备的果盘数为12。
每个果盘里的果冻数：$\frac{48}{12} = 4$(个)，
每个果盘里的樱桃数：$\frac{36}{12} = 3$(颗)，
最终
