例 1 判断下列分式是否为最简分式？若不是，化为最简分式.
① $\frac{2x}{4ab}$； ② $\frac{x}{x + xy}$； ③ $\frac{a + 1}{a^{2}-1}$； ④ $\frac{a^{2}+2a + 1}{a^{2}+1}$.

解：
① $\frac{2x}{4ab}$不是最简分式，
$\frac{2x}{4ab}=\frac{2x÷2}{4ab÷2}=\frac{x}{2ab}$；
② $\frac{x}{x + xy}$不是最简分式，
$\frac{x}{x + xy}=\frac{x}{x(1+y)}=\frac{x÷ x}{x(1+y)÷ x}=\frac{1}{1+y}$；
③ $\frac{a + 1}{a^{2}-1}$不是最简分式，
$\frac{a + 1}{a^{2}-1}=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}=\frac{(a+1)÷(a+1)}{(a+1)(a-1)÷(a+1)}=\frac{1}{a-1}$；
④ $\frac{a^{2}+2a + 1}{a^{2}+1}$是最简分式。

例 2 先约分，再求值：$\frac{a^{3}-4ab^{2}}{a^{3}-4a^{2}b + 4ab^{2}}$，其中 $a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$.

解：
原式=$\frac{a(a^2 - 4b^2)}{a(a^2 - 4ab + 4b^2)}$
=$\frac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^2}$
=$\frac{a + 2b}{a - 2b}$
当$a = 2$，$b = -\frac{1}{2}$时，
原式=$\frac{2 + 2×(-\frac{1}{2})}{2 - 2×(-\frac{1}{2})}$
=$\frac{2 - 1}{2 + 1}$
=$\frac{1}{3}$

1. 约分 $\frac{2y}{8y^{3}}$ 的结果为 ()

A.$4y^{2}$
B.$\frac{1}{8y^{2}}$
C.$\frac{2}{8y^{2}}$
D.$\frac{1}{4y^{2}}$

D

根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式。分子$2y$与分母$8y^3$的公因式为$2y$，分子除以$2y$得$1$，分母除以$2y$得$4y^2$，因此约分结果为$\frac{1}{4y^{2}}$。

2. 下列约分错误的是 ()

A.$\frac{-25a^{2}bc^{2}}{15ab^{2}c}=-\frac{5ac^{2}}{3b}$
B.$\frac{x^{2}-9}{x^{2}+6x + 9}=\frac{x - 3}{x + 3}$
C.$\frac{6x^{2}-12xy + 6y^{2}}{3x - 3y}=2x - 2y$
D.$\frac{x^{2}-y^{2}}{x - y}=x + y$

A

对各选项逐一约分：
选项A：$\frac{-25a^{2}bc^{2}}{15ab^{2}c}=-\frac{5ac}{3b}$，与选项中结果不符，约分错误；
选项B：$\frac{x^{2}-9}{x^{2}+6x + 9}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}$，约分正确；
选项C：$\frac{6x^{2}-12xy + 6y^{2}}{3x - 3y}=\frac{6(x-y)^2}{3(x-y)}=2(x-y)=2x-2y$，约分正确；
选项D：$\frac{x^{2}-y^{2}}{x - y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y$，约分正确。
综上，约分错误的是选项A。