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二、填空题
3. 约分：
(1)$\frac{7m^{2}n}{-35mn^{2}}=$； (2)$\frac{(a - b)^{2}}{(b - a)^{2}}=$.
3. 约分：
(1)$\frac{7m^{2}n}{-35mn^{2}}=$； (2)$\frac{(a - b)^{2}}{(b - a)^{2}}=$.
答案
解：
(1) $\frac{7m^{2}n}{-35mn^{2}}=\frac{7mn· m}{7mn· (-5n)}=-\frac{m}{5n}$；
(2) $\frac{(a - b)^{2}}{(b - a)^{2}}=\frac{(a - b)^{2}}{(a - b)^{2}}=1$。
(1) $\frac{7m^{2}n}{-35mn^{2}}=\frac{7mn· m}{7mn· (-5n)}=-\frac{m}{5n}$；
(2) $\frac{(a - b)^{2}}{(b - a)^{2}}=\frac{(a - b)^{2}}{(a - b)^{2}}=1$。
4. 化简：
(1)$\frac{x^{2}-1}{1 - x}=$； (2)$\frac{x^{2}-6x + 9}{x^{2}-9}=$.
(1)$\frac{x^{2}-1}{1 - x}=$； (2)$\frac{x^{2}-6x + 9}{x^{2}-9}=$.
答案
(1) $-x-1$；(2) $\frac{x-3}{x+3}$
解析
(1) 对分子因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母变形为$1-x=-(x-1)$，则原式$=\frac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}$，约去公因式$(x-1)$（$x≠1$），化简得$-x-1$；
(2) 对分子、分母分别因式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，则原式$=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}$，约去公因式$(x-3)$（$x≠±3$），化简得$\frac{x-3}{x+3}$。
(2) 对分子、分母分别因式分解：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，则原式$=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}$，约去公因式$(x-3)$（$x≠±3$），化简得$\frac{x-3}{x+3}$。
三、解答题
5. 约分：
（1）$\frac{-36xy^{2}z^{3}}{6yz^{2}}$； （2）$-\frac{-2a(a + b)}{3b(b + a)}$； （3）$\frac{2a(a - 1)}{8ab^{2}(1 - a)}$.
5. 约分：
（1）$\frac{-36xy^{2}z^{3}}{6yz^{2}}$； （2）$-\frac{-2a(a + b)}{3b(b + a)}$； （3）$\frac{2a(a - 1)}{8ab^{2}(1 - a)}$.
答案
解：
（1）$\frac{-36xy^{2}z^{3}}{6yz^{2}}=\frac{-36}{6}·\frac{x}{1}·\frac{y^{2}}{y}·\frac{z^{3}}{z^{2}}=-6xyz$；
（2）$-\frac{-2a(a + b)}{3b(b + a)}=\frac{2a(a + b)}{3b(a + b)}=\frac{2a}{3b}$；
（3）$\frac{2a(a - 1)}{8ab^{2}(1 - a)}=\frac{2a(a - 1)}{-8ab^{2}(a - 1)}=-\frac{2a}{8ab^{2}}=-\frac{1}{4b^{2}}$。
（1）$\frac{-36xy^{2}z^{3}}{6yz^{2}}=\frac{-36}{6}·\frac{x}{1}·\frac{y^{2}}{y}·\frac{z^{3}}{z^{2}}=-6xyz$；
（2）$-\frac{-2a(a + b)}{3b(b + a)}=\frac{2a(a + b)}{3b(a + b)}=\frac{2a}{3b}$；
（3）$\frac{2a(a - 1)}{8ab^{2}(1 - a)}=\frac{2a(a - 1)}{-8ab^{2}(a - 1)}=-\frac{2a}{8ab^{2}}=-\frac{1}{4b^{2}}$。
6. 将下列分式化简：
（1）$\frac{m^{2}+4 - 4m}{2m - m^{2}}$； （2）$\frac{(x + 2y)^{2}-10(x + 2y)+25}{(x + 2y)^{2}-25}$.
（1）$\frac{m^{2}+4 - 4m}{2m - m^{2}}$； （2）$\frac{(x + 2y)^{2}-10(x + 2y)+25}{(x + 2y)^{2}-25}$.
答案
解：
（1）$\frac{m^{2}+4 - 4m}{2m - m^{2}}$
$=\frac{m^{2}-4m+4}{-m^{2}+2m}$
$=\frac{(m-2)^{2}}{-m(m-2)}$
$=\frac{2-m}{m}$
（2）$\frac{(x + 2y)^{2}-10(x + 2y)+25}{(x + 2y)^{2}-25}$
$=\frac{[(x+2y)-5]^{2}}{[(x+2y)+5][(x+2y)-5]}$
$=\frac{x+2y-5}{x+2y+5}$（$x+2y≠5$）
（1）$\frac{m^{2}+4 - 4m}{2m - m^{2}}$
$=\frac{m^{2}-4m+4}{-m^{2}+2m}$
$=\frac{(m-2)^{2}}{-m(m-2)}$
$=\frac{2-m}{m}$
（2）$\frac{(x + 2y)^{2}-10(x + 2y)+25}{(x + 2y)^{2}-25}$
$=\frac{[(x+2y)-5]^{2}}{[(x+2y)+5][(x+2y)-5]}$
$=\frac{x+2y-5}{x+2y+5}$（$x+2y≠5$）
7. 化简：$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}}$.
答案
解：
$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}}$
$=\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x^{2}+1-2x)(x^{2}+1+2x)}$
$=\frac{[(x-1)(x+1)]^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}$
$=\frac{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}$
$=1$（$x≠±1$）
$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}}$
$=\frac{(x^{2}-1)^{2}}{(x^{2}+1-2x)(x^{2}+1+2x)}$
$=\frac{[(x-1)(x+1)]^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}$
$=\frac{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}$
$=1$（$x≠±1$）
8. 当正整数 $a$ 取何值时，分式 $\frac{6a + 6}{a^{2}+2a + 1}$ 的值为整数？
答案
解：
$\frac{6a + 6}{a^{2}+2a + 1} = \frac{6(a+1)}{(a+1)^2} = \frac{6}{a+1}$（$a≠-1$）
因为分式的值为整数，且$a$是正整数，所以$a+1$是6的正约数。
6的正约数为1、2、3、6：
当$a+1=1$时，$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
当$a+1=2$时，$a=1$；
当$a+1=3$时，$a=2$；
当$a+1=6$时，$a=5$。
综上，正整数$a$的值为1、2、5。
$\frac{6a + 6}{a^{2}+2a + 1} = \frac{6(a+1)}{(a+1)^2} = \frac{6}{a+1}$（$a≠-1$）
因为分式的值为整数，且$a$是正整数，所以$a+1$是6的正约数。
6的正约数为1、2、3、6：
当$a+1=1$时，$a=0$，不符合正整数要求，舍去；
当$a+1=2$时，$a=1$；
当$a+1=3$时，$a=2$；
当$a+1=6$时，$a=5$。
综上，正整数$a$的值为1、2、5。
