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例 1 化简：
（1）$\sqrt{(-3)^{2}}$； （2）$\sqrt{(7 - π)^{2}}$.
（1）$\sqrt{(-3)^{2}}$； （2）$\sqrt{(7 - π)^{2}}$.
答案
解：
（1）$\sqrt{(-3)^{2}} = |-3| = 3$；
（2）因为$7 ＞ π$，所以$7 - π ＞ 0$，
$\sqrt{(7 - π)^{2}} = |7 - π| = 7 - π$。
（1）$\sqrt{(-3)^{2}} = |-3| = 3$；
（2）因为$7 ＞ π$，所以$7 - π ＞ 0$，
$\sqrt{(7 - π)^{2}} = |7 - π| = 7 - π$。
例 2 化简：
（1）$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}(x ≥ - 2)$； （2）$\sqrt{(x - 4)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$.
（1）$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}(x ≥ - 2)$； （2）$\sqrt{(x - 4)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$.
答案
解：
（1）$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}$
$=\sqrt{(x+2)^2}$
$=|x+2|$
因为$x≥-2$，所以$x+2≥0$，
则原式$=x+2$。
（2）由$\sqrt{2-x}$有意义，得$2-x≥0$，即$x≤2$。
$\sqrt{(x - 4)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$
$=|x-4|-(2-x)$
因为$x≤2$，所以$x-4＜0$，
则$|x-4|=4-x$，
原式$=(4-x)-(2-x)$
$=4-x-2+x$
$=2$。
（1）$\sqrt{x^{2} + 4x + 4}$
$=\sqrt{(x+2)^2}$
$=|x+2|$
因为$x≥-2$，所以$x+2≥0$，
则原式$=x+2$。
（2）由$\sqrt{2-x}$有意义，得$2-x≥0$，即$x≤2$。
$\sqrt{(x - 4)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$
$=|x-4|-(2-x)$
因为$x≤2$，所以$x-4＜0$，
则$|x-4|=4-x$，
原式$=(4-x)-(2-x)$
$=4-x-2+x$
$=2$。
1. 如果$\sqrt{(a - 2)^{2}} = 2 - a$，那么$a$的取值范围是()
A.$a ≤ 2$
B.$a ≥ 2$
C.$a ≠ 2$
D.任意实数
A.$a ≤ 2$
B.$a ≥ 2$
C.$a ≠ 2$
D.任意实数
答案
A
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a - 2)^2}=|a - 2|$。已知$\sqrt{(a - 2)^2}=2 - a$，即$|a - 2|=2 - a$。根据绝对值的性质，当$x≤0$时，$|x|=-x$，因此$a - 2≤0$，解得$a≤2$。
2. 下列计算正确的是()
A.$\sqrt{(-2)^{2}} = - 2$
B.$\sqrt{2^{2}} = \pm 2$
C.$\sqrt{(\pm 2)^{2}} = \pm 2$
D.$-\sqrt{2^{2}} = - 2$
A.$\sqrt{(-2)^{2}} = - 2$
B.$\sqrt{2^{2}} = \pm 2$
C.$\sqrt{(\pm 2)^{2}} = \pm 2$
D.$-\sqrt{2^{2}} = - 2$
答案
D
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数），逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$，故A错误；
B选项：$\sqrt{2^2}=|2|=2$，算术平方根为非负数，故B错误；
C选项：$\sqrt{(\pm2)^2}=|\pm2|=2$，故C错误；
D选项：$-\sqrt{2^2}=-|2|=-2$，故D正确。
A选项：$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$，故A错误；
B选项：$\sqrt{2^2}=|2|=2$，算术平方根为非负数，故B错误；
C选项：$\sqrt{(\pm2)^2}=|\pm2|=2$，故C错误；
D选项：$-\sqrt{2^2}=-|2|=-2$，故D正确。
二、填空题
3. $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}} =$.
3. $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}} =$.
答案
解：
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，
因为$\sqrt{3}＞1$，所以$1-\sqrt{3}＜0$，
则$\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$。
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，
因为$\sqrt{3}＞1$，所以$1-\sqrt{3}＜0$，
则$\sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$。
4. 已知$xy ＜ 0$，则$\sqrt{x^{2}y^{2}} =$.
答案
$-xy$
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{x^2y^2}=\sqrt{(xy)^2}=|xy|$。因为$xy＜0$，负数的绝对值是它的相反数，所以$|xy|=-xy$。
5. 已知$\sqrt{(x - 3)^{2}} = x - 3$，则$x$的取值范围是.
答案
$x≥3$
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(x - 3)^{2}}=|x-3|$。已知$|x-3|=x-3$，根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它本身时，这个数是非负数，因此$x-3≥0$，解得$x≥3$。
6. 已知$\sqrt{a^{2} - 2a + 1} + a = 1$，则$a$的取值范围是.
答案
$a≤1$
解析
1. 对根号内的式子配方：$a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$，原等式化为$\sqrt{(a - 1)^2} + a = 1$；
2. 根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$|a - 1| + a = 1$；
3. 移项得$|a - 1| = 1 - a$；
4. 由绝对值的性质，$|a - 1| = 1 - a = -(a - 1)$，则$a - 1 ≤ 0$，解得$a ≤ 1$。
2. 根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$|a - 1| + a = 1$；
3. 移项得$|a - 1| = 1 - a$；
4. 由绝对值的性质，$|a - 1| = 1 - a = -(a - 1)$，则$a - 1 ≤ 0$，解得$a ≤ 1$。
