2. 在 $ △ A B C $中，点E在AC上，连接BE， $ ∠ A E B=∠ A B E+2∠ C B E。 $
(1) 如图1-3-15 $ \textcircled{1} $ ，求证： $ AB=AC $；
(2) 如图1-3-15 $ \textcircled{2} $ ，点F在BE的延长线上，连接AF，若 $ A F=A E $ $ ∠ B A F=6 0° $ ，求证： $ ∠ C B E=3 0° $
(3) 如图1-3-15 $ \textcircled{3} $ ，在（2）的条件下，点 D在 EF的延长线上，连接 AD，CD， $ CD=CA $ 。作 $ ∠ DAF $的平分线交 DF于点 H。若 $ AH=10 $ ，EF=6，求 HF的长。

2. (1) 证明：$\because ∠ AEB=∠ C+∠ CBE$，且$∠ AEB=∠ ABE+2∠ CBE$，
$\therefore ∠ C+∠ CBE=∠ ABE+2∠ CBE$。
$\therefore ∠ C=∠ ABE+∠ CBE=∠ ABC$。$\therefore AB=AC$。
(2)证明：设$∠ FAE=2α$。
$\because AF=AE$，$\therefore ∠ F=∠ AEF$。
$\because ∠ F+∠ AEF=180^{\circ }-∠ FAE=180^{\circ }-2α$，
$\therefore ∠ F=∠ AEF=90^{\circ }-α$。
$\therefore ∠ AEB=180^{\circ }-∠ AEF=90^{\circ }+α$。
$\therefore ∠ CAB=∠ BAF-∠ FAE=60^{\circ }-2α$。
$\therefore ∠ ABE=180^{\circ }-∠ CAB-∠ AEB=30^{\circ }+α$。
$\because ∠ AEB=∠ ABE+2∠ CBE$，
$\therefore 90^{\circ }+α=30^{\circ }+α+2∠ CBE$。
$\therefore ∠ CBE=30^{\circ }$。
(3)解：如答图1-3-6，过点$A$作$AM⊥ BD$于点$M$，作$AG⊥ CB$于点$G$，过点$C$作$CK⊥ BD$于点$K$，$\therefore CG=\frac{1}{2}CB$，$CK=\frac{1}{2}CB$。$\therefore CG=CK$。
在$\mathrm{Rt}△ ACG$和$\mathrm{Rt}△ DCK$中，
$\because CG=CK$，$AC=DC$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACG≌\mathrm{Rt}△ DCK(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ ACG=∠ DCK$。
$\therefore ∠ ACG-∠ ECK=∠ DCK-∠ ECK$。
$\therefore ∠ ACD=∠ BCK=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$。
$\therefore △ ACD$是等边三角形。
$\because AF=AE$，$AM⊥ EF$，$\therefore ∠ FAM=∠ EAM$。
又$\because AH$平分$∠ DAF$，$\therefore ∠ DAH=∠ HAF$。
$\therefore ∠ HAM=\frac{1}{2}∠ DAC=\frac{1}{2}×60^{\circ }=30^{\circ }$。
$\therefore HM=\frac{1}{2}AH=5$。
$\because AF=AE$，$AM⊥ EF$，$\therefore FM=\frac{1}{2}EF=3$。
$\therefore HF=HM - FM=5 - 3=2$。

答图1-3-6

1. 如图1-4-1，在 $ △ A B C $中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E，交边AB于点D。若AC的长为9cm，BE的长为6cm，则EC的长为（ ）。

A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm

1. B