变式训练 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$E$，$F$ 分别是 $BC$，$CD$ 边上的动点，且 $BE = CF$。
(1) 若 $BE = CF = 1$，则 $AE + AF =$；
(2) $AE + AF$ 的最小值为。

5+√17；4√5

(1) 正方形边长为4，BE=CF=1，E在BC上，F在CD上。
E点坐标(4,1)，AE=√(4²+1²)=√17；
F点坐标(3,4)，AF=√(3²+4²)=5；
故AE+AF=5+√17。
(2) 设BE=CF=t(0≤t≤4)，E(4,t)，F(4-t,4)。
AE=√(4²+t²)，AF=√[(4-t)²+4²]；
转化为x轴上点P(t,0)到A1(0,4)、A2(4,4)距离和，作A1关于x轴对称点A1'(0,-4)；
A1'A2=√[(4-0)²+(4+4)²]=√80=4√5，即AE+AF最小值为4√5。

例2 如图，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别为四边形 $ABCD$ 四边之中点。
(1) 求证：四边形 $EFGH$ 为平行四边形；
(2) 当 $AC$，$BD$ 满足时，四边形 $EFGH$ 为菱形；当 $AC$，$BD$ 满足时，四边形 $EFGH$ 为矩形；当 $AC$，$BD$ 满足时，四边形 $EFGH$ 为正方形；
(3) 根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定。

(1)
在$△ ABC$中，因为$E$、$F$分别为$AB$、$BC$中点，根据三角形中位线定理，所以$EF// AC$，$EF = \frac{1}{2}AC$。
在$△ ADC$中，因为$H$、$G$分别为$AD$、$DC$中点，根据三角形中位线定理，所以$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$。
所以$EF// HG$，$EF = HG$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形$EFGH$为平行四边形。
(2)
当$AC = BD$时，因为$EF=\frac{1}{2}AC$，$HG = \frac{1}{2}AC$，$HE=\frac{1}{2}BD$，$GF=\frac{1}{2}BD$，所以$EF = HG=HE = GF$，四边形$EFGH$为菱形。
当$AC⊥ BD$时，因为$EF// AC$，$HE// BD$，所以$EF⊥ HE$，即$∠ HEF = 90^{\circ}$，四边形$EFGH$为矩形。
当$AC = BD$且$AC⊥ BD$时，四边形$EFGH$为正方形。
故答案依次为：$AC = BD$；$AC⊥ BD$；$AC = BD$且$AC⊥ BD$。
(3)
中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系决定，即对角线的大小关系决定中点四边形边的数量关系（是否相等），对角线的位置关系（是否垂直）决定中点四边形的角的数量关系（是否为直角）。

变式训练 如图，在 $△ ABC$ 中，$O$ 是 $BC$ 边上一个动点，过点 $O$ 作直线 $l// AB$，$l$ 交 $∠ ABC$ 的平分线于点 $E$，交 $∠ ABC$ 的外角平分线于点 $F$。
(1) 找出图形中相等的线段，并证明；
(2) 当点 $O$ 运动到何处时，四边形 $BECF$ 是矩形？证明你的结论。
(3) 在(2)的结论下，当 $△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $BECF$ 是正方形？

【解析】：(1) 相等线段：EO=FO。证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC。
∵l//AB，
∴∠OEB=∠ABE（内错角相等），
∴∠OEB=∠EBC，
∴EO=BO。同理，BF平分∠ABC外角，设外角为∠ABG，则∠ABF=∠FBG。
∵l//AB，
∴∠OFB=∠ABF（内错角相等），
∴∠OFB=∠FBG=∠FBC，
∴FO=BO。
∴EO=FO。
(2) 当O运动到BC中点时，四边形BECF是矩形。证明：
∵O为BC中点，
∴BO=OC。由(1)知EO=FO，
∴四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分）。
∵BE、BF分别是∠ABC及其外角平分线，
∴∠EBC+∠FBC=∠ABC/2 + (180°-∠ABC)/2=90°，即∠EBF=90°，
∴平行四边形BECF是矩形。
(3) 当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形BECF是正方形。
∵∠ABC=90°，则∠EBC=45°，∠FBC=45°，
∴BE=BF（等角对等边），矩形BECF有一组邻边相等，故为正方形。
【答案】：(1) EO=FO；(2) O为BC中点；(3) ∠ABC=90°

(1) 相等线段：EO=FO。证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC。∵l//AB，∴∠OEB=∠ABE（内错角相等），∴∠OEB=∠EBC，∴EO=BO。同理，BF平分∠ABC外角，设外角为∠ABG，则∠ABF=∠FBG。∵l//AB，∴∠OFB=∠ABF（内错角相等），∴∠OFB=∠FBG=∠FBC，∴FO=BO。∴EO=FO。
(2) 当O运动到BC中点时，四边形BECF是矩形。证明：∵O为BC中点，∴BO=OC。由(1)知EO=FO，∴四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分）。∵BE、BF分别是∠ABC及其外角平分线，∴∠EBC+∠FBC=∠ABC/2 + (180°-∠ABC)/2=90°，即∠EBF=90°，∴平行四边形BECF是矩形。
(3) 当△ABC满足∠ABC=90°时，四边形BECF是正方形。∵∠ABC=90°，则∠EBC=45°，∠FBC=45°，∴BE=BF（等角对等边），矩形BECF有一组邻边相等，故为正方形。

1. 正方形有而矩形不一定有的性质是()

A.四个角都是直角
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直

D

正方形的定义是四边相等且每个角都是直角的四边形，而矩形是每个角都是直角但邻边不一定相等的四边形。
选项A是正方形和矩形的共同性质；
选项B对角线相等是矩形的性质，也是正方形的性质；
选项C对角线互相平分是平行四边形（包含矩形和正方形）的基本性质；
选项D对角线互相垂直是正方形特有的性质，而矩形的对角线不一定垂直。

2. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，点 $M$，$N$ 分别在 $AC$，$BD$ 上，连接 $CN$，$BM$，$MN$，若 $CM = 2MO$，$∠ OBM = ∠ OCN$，则 $MN$ 的长为()

A.$1$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

B

∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴对角线AC=BD=6√2，且AC⊥BD，O为AC、BD中点，
∴AO=OC=BO=OD=3√2，∠BOM=∠CON=90°。
设MO=x，∵CM=2MO，OC=CM+MO，
∴3x=3√2，解得x=√2，即MO=√2。
∵∠OBM=∠OCN，OB=OC=3√2，∠BOM=∠CON=90°，
∴△BOM≌△CON（ASA），∴ON=OM=√2。
∵AC⊥BD，∴∠MON=90°，
∴MN=√(OM²+ON²)=√( (√2)²+(√2)² )=√4=2。

3. 如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$。小乐同学欲添加两个条件使得四边形 $ABCD$ 是正方形，现有三个条件可供选择：① $AC⊥ BD$；② $AC = BD$；③ $∠ ADC = 90^{\circ}$。则正确的组合是(只需填一种组合即可)。

①②

已知四边形ABCD是平行四边形。若添加条件②AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形ABCD是矩形；再添加条件①AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，可得四边形ABCD是正方形。