4. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$，$F$ 为对角线 $BD$ 上一点，连接 $AF$，过点 $F$ 作 $EF⊥ AF$，交 $BC$ 于点 $E$，连接 $AE$，若 $DF = \sqrt{2}$，则 $AE$ 的长为。

√10

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，正方形ABCD顶点坐标：A(0,3)，B(0,0)，C(3,0)，D(3,3)。BD为y=x，设F(a,a)。DF=√2，D(3,3)，由距离公式√[(3-a)²+(3-a)²]=√2，得|3-a|=1，a=2（a=4舍），故F(2,2)。设E(e,0)，AF斜率=(2-3)/(2-0)=-1/2，EF斜率=2/(2-e)。EF⊥AF，(-1/2)·[2/(2-e)]=-1，解得e=1，E(1,0)。AE=√[(1-0)²+(0-3)²]=√10。

5. 如图，边长为 $5$ 的菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，且 $∠ ADB = ∠ ACB$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是正方形；
(2) $E$ 是 $OB$ 上一点，$BE = \sqrt{2}$，且 $DH⊥ CE$，垂足为 $H$，$DH$ 与 $OC$ 相交于点 $F$，求线段 $DF$ 的长。

(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC。
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBC=∠ACB，
∴OB=OC。
∵菱形ABCD中，AC=2OC，BD=2OB，
∴AC=BD，
∴菱形ABCD是正方形。
(2)
∵正方形ABCD边长为5，
∴AC=BD=5√2，
∴OA=OB=OC=OD=5√2/2。
∵BE=√2，
∴OE=OB-BE=5√2/2 - √2=3√2/2。
∵DH⊥CE，
∴∠DHC=90°，
∴∠FDH+∠HFD=90°。
∵∠EOC=90°，
∴∠ECO+∠OFC=90°。
∵∠HFD=∠OFC，
∴∠FDH=∠ECO。在△ODF和△OCE中，∠ODF=∠OCE，OD=OC，∠DOF=∠COE=90°，
∴△ODF≌△OCE(ASA)，
∴DF=CE。在Rt△OCE中，OC=5√2/2，OE=3√2/2，CE=√(OC²+OE²)=√[(5√2/2)²+(3√2/2)²]=√(25/2 + 9/2)=√17，
∴DF=√17。
答案：(1) 见证明过程；(2) √17

(1) 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠DBC。∵∠ADB=∠ACB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC。∵菱形ABCD中，AC=2OC，BD=2OB，∴AC=BD，∴菱形ABCD是正方形。
(2) ∵正方形ABCD边长为5，∴AC=BD=5√2，∴OA=OB=OC=OD=5√2/2。∵BE=√2，∴OE=OB-BE=5√2/2 - √2=3√2/2。∵DH⊥CE，∴∠DHC=90°，∴∠FDH+∠HFD=90°。∵∠EOC=90°，∴∠ECO+∠OFC=90°。∵∠HFD=∠OFC，∴∠FDH=∠ECO。在△ODF和△OCE中，∠ODF=∠OCE，OD=OC，∠DOF=∠COE=90°，∴△ODF≌△OCE(ASA)，∴DF=CE。在Rt△OCE中，OC=5√2/2，OE=3√2/2，CE=√(OC²+OE²)=√[(5√2/2)²+(3√2/2)²]=√(25/2 + 9/2)=√17，∴DF=√17。

6. 如图，$P$ 是边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上任意一点，过点 $B$ 作 $BG⊥ AP$ 于点 $G$，过点 $C$ 作 $CE⊥ AP$ 的延长线于点 $E$，连接 $BE$。
(1) 如图 $1$，若点 $P$ 是 $BC$ 的中点，求 $CE$ 的长；
(2) 如图 $2$，当点 $P$ 在 $BC$ 边上运动时（不与 $B$，$C$ 重合），求证：$BE = \sqrt{2}(AG - CE)$。

(1) ∵正方形ABCD边长为4，P为BC中点，∴BP=2。
在Rt△ABP中，AP=√(AB²+BP²)=√(4²+2²)=2√5。
S△ABP=1/2×AB×BP=1/2×AP×BG，即1/2×4×2=1/2×2√5×BG，解得BG=4√5/5。
在Rt△ABG中，AG=√(AB²-BG²)=√(16-(16×5)/25)=8√5/5。
∵∠BGP=∠CEP=90°，∠BPG=∠CPE，BP=PC=2，∴△BPG≌△CPE(AAS)，∴CE=BG=4√5/5。
(2) 以A为原点，AB、AD为轴建系，设P(4,t)(0＜t＜4)。
直线AP：y=(t/4)x，BG⊥AP，直线BG：y=(-4/t)(x-4)。
联立得G(64/(t²+16),16t/(t²+16))，AG=16/√(t²+16)。
直线CE：y-4=(-4/t)(x-4)，联立AP得E(16(t+4)/(t²+16),4t(t+4)/(t²+16))。
CE=4(4-t)/√(t²+16)，AG-CE=4t/√(t²+16)。
BE=√[(16(t+4)/(t²+16)-4)²+(4t(t+4)/(t²+16))²]=4t√2/√(t²+16)=√2(AG-CE)。
(1) CE=4√5/5；(2) 得证。

例 1 如图，正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $BC$ 上一点，$AF$ 平分 $∠ DAE$ 交 $DC$ 于点 $F$。求证：$BE = AE - DF$。

名师导引 构造三角形全等，对线段和角进行转化是解决问题的关键。

证明：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=180°-∠ABC=90°=∠D。
在△ABG和△ADF中，
$\{\begin{array}{l} AB=AD \\ ∠ABG=∠D \\ BG=DF \end{array} $，
∴△ABG≌△ADF（SAS）。
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF。
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠BAG=∠EAF。
∴∠BAG+∠BAE=∠EAF+∠BAE，即∠GAE=∠BAF。
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等）。
又∵△ABG≌△ADF，
∴∠AGB=∠AFD，
∴∠GAE=∠AGB。
∴AE=GE（等角对等边）。
∵GE=GB+BE=DF+BE，
∴AE=BE+DF，
即BE=AE-DF。

变式训练 如图，正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为 $BC$ 上一点，$F$ 为 $CD$ 边的中点，$DC + CE = AE$。求证：$AF$ 平分 $∠ DAE$。

【解析】：设正方形ABCD边长为a，CE=x，则AE=DC+CE=a+x，BE=BC-CE=a-x。在Rt△ABE中，由勾股定理得AB²+BE²=AE²，即a²+(a-x)²=(a+x)²，解得x=a/4。F为CD中点，DF=FC=a/2。过F作FG⊥AE于G，S△AEF=S正方形ABCD - S△ABE - S△ADF - S△EFC=a² - 1/2·a·3a/4 - 1/2·a·a/2 - 1/2·a/2·a/4=5a²/16。又S△AEF=1/2·AE·FG=1/2·5a/4·FG，解得FG=a/2=DF。因FG⊥AE，FD⊥AD，故F到∠DAE两边距离相等，所以AF平分∠DAE。
【答案】：AF平分∠DAE

设正方形ABCD边长为a，CE=x，则AE=DC+CE=a+x，BE=BC-CE=a-x。在Rt△ABE中，由勾股定理得AB²+BE²=AE²，即a²+(a-x)²=(a+x)²，解得x=a/4。F为CD中点，DF=FC=a/2。过F作FG⊥AE于G，S△AEF=S正方形ABCD - S△ABE - S△ADF - S△EFC=a² - 1/2·a·3a/4 - 1/2·a·a/2 - 1/2·a/2·a/4=5a²/16。又S△AEF=1/2·AE·FG=1/2·5a/4·FG，解得FG=a/2=DF。因FG⊥AE，FD⊥AD，故F到∠DAE两边距离相等，所以AF平分∠DAE。