例 2 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$H$ 为 $AD$ 边上的一点，$AH = 3$，$DH = 2AH$，$P$ 是对角线上的一个动点，则 $AP + PH$ 的最小值为。

名师导引 正方形的对称性及最短路径相关知识是解此题的关键。

3√13

在正方形ABCD中，AD=AH+DH，AH=3，DH=2AH=6，故AD=9，即正方形边长为9。连接BD，作H关于BD的对称点H'，由正方形对称性知H'在CD上，且CH'=AH=3，故H'(6,9)（以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系）。AP+PH=AP+PH'，当A、P、H'共线时，AP+PH最小，即AH'的长。AH'=√[(6-0)²+(9-0)²]=√(36+81)=√117=3√13。

变式训练 如图，正方形 $ABCD$ 的面积为 $16$，点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 内，$△ ABE$ 是等边三角形，在正方形对角线 $BD$ 上有一点 $P$，使 $PC + PE$ 最小，则这个最小值为()

A.$4$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$2$

A

正方形ABCD面积为16，边长AB=4。△ABE为等边三角形，故AE=AB=4。
BD是正方形对角线，点A与点C关于BD对称（正方形对角线性质），则PC=PA（对称点到对称轴上点距离相等）。
因此PC+PE=PA+PE，当P为AE与BD交点时，PA+PE最小，最小值为AE=4。

1. 如图，在正方形 $ABCD$ 的内部作等边 $△ ADM$，则 $∠ ABM$ 的度数为()

A.$60^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

D

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°。
∵△ADM是等边三角形，∴AD=AM，∠MAD=60°。
∴AB=AM（等量代换），∠BAM=∠BAD - ∠MAD=90° - 60°=30°。
在△ABM中，AB=AM，∴△ABM是等腰三角形，∠ABM=∠AMB。
∵三角形内角和为180°，∴∠ABM=(180° - ∠BAM)/2=(180° - 30°)/2=75°。

2. 如图，将 $n$ 个边长都为 $1$ 的正方形按如图所示摆放，点 $A_{1}$，$A_{2}$，$···$，$A_{n - 1}$ 分别是正方形对角线的交点，则这 $n$ 个正方形重叠部分的面积之和是()

A.$n$
B.$n - 1$
C.$(\dfrac{1}{4})^{n - 1}$
D.$\dfrac{n - 1}{4}$

D

根据题意可得，一个边长为1的正方形，两个正方形重合部分的面积为$\dfrac{1}{4} × 1 = \dfrac{1}{4}$。
三个正方形重叠部分的面积之和为$\dfrac{1}{4} × 2 = \dfrac{1}{2}$（即$ \dfrac{2}{4} $），
四个正方形重叠部分的面积之和为$\dfrac{1}{4} × 3 = \dfrac{3}{4}$，
按此规律，$n$个正方形重叠部分的面积之和为$\dfrac{1}{4} × (n - 1) = \dfrac{n - 1}{4}$。

3. 如图，正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$P$ 是 $BC$ 边上任意一点，$PE ⊥ BD$ 于点 $E$，$PF ⊥ AC$ 于点 $F$。若 $AC = 2\sqrt{2}$，则 $EF$ 的最小值为()

A.$2$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

B

∵四边形ABCD是正方形，AC=2√2，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD=√2，正方形边长AB=BC=2（对角线长=边长×√2，故边长=2√2/√2=2）。
∵PE⊥BD，PF⊥AC，AC⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，∴EF=OP（矩形对角线相等）。
要使EF最小，即求OP最小值。P在BC上，点O到BC的垂线段最短（点到直线距离中垂线段最短）。
O为正方形中心，到BC距离为边长的一半，即2/2=1。
∴OP最小值为1，即EF最小值为1。

4. 如图，正方形 $ABCD$ 中，$E$ 为对角线 $AC$ 上一点，连接 $DE$，过点 $E$ 作 $EF ⊥ DE$ 交 $DC$ 的延长线于点 $F$，交 $BC$ 于点 $M$，若 $M$ 为 $EF$ 的中点，则 $\dfrac{DE}{CF}$ 的值为。

√5/2

设正方形边长为1，建立坐标系：A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)，AC方程为y=x，设E(t,t)。
DE斜率：(t-1)/t，EF⊥DE，EF斜率：t/(1-t)，EF方程：y-t=[t/(1-t)](x-t)。
BC为x=1，代入EF方程得M(1,2t)；DC延长线y=1，代入EF方程得F((2t²-2t+1)/t,1)。
M为EF中点，由中点纵坐标：(t+1)/2=2t，解得t=1/3。
E(1/3,1/3)，DE=√[(1/3)²+(1/3-1)²]=√5/3，CF=(2t²-2t+1)/t -1=2/3，故DE/CF=√5/2。

5. 如图，以正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 为一边向外作等边 $△ ABE$，分别连接 $DE$，$CE$。
(1) 求证：$CE = DE$；
(2) 求 $∠ CED$ 的度数。

(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°。
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°。
∴∠DAE=∠DAB+∠EAB=90°+60°=150°，∠CBE=∠ABC+∠EBA=90°+60°=150°。
∴∠DAE=∠CBE。
在△ADE和△BCE中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ ∠ DAE=∠ CBE\\ AE=BE\end{array} $，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，
∴CE=DE。
(2)
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形。
∠DAE=150°，
∴∠ADE=$\frac{180°-150°}{2}$=15°。
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-15°=75°。
同理，∠DCE=75°。
在△CDE中，∠CED=180°-∠CDE-∠DCE=180°-75°-75°=30°。
答案：(1) 见证明过程；(2) 30°。

(1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°。
∵△ABE是等边三角形，∴AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°。
∴∠DAE=∠DAB+∠EAB=90°+60°=150°，∠CBE=∠ABC+∠EBA=90°+60°=150°。
∴∠DAE=∠CBE。
在△ADE和△BCE中，$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ ∠ DAE=∠ CBE\\ AE=BE\end{array} $，
∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴CE=DE。
(2) ∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。
∠DAE=150°，∴∠ADE=$\frac{180°-150°}{2}$=15°。
∵∠ADC=90°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-15°=75°。
同理，∠DCE=75°。
在△CDE中，∠CED=180°-∠CDE-∠DCE=180°-75°-75°=30°。