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1. 某校有 150 名学生参加数学智力竞赛,经统计,这些学生的平均分为 60 分,其中及格学生的平均分为 70 分,不及格学生的平均分为 50 分,则这些学生中及格的有
75
人,不及格的有75
人.答案
1. 75，75
解析
【解析】
设及格的学生有$ x $人，则不及格的学生有$ (150 - x) $人。
根据总分相等列方程：
$ 70x + 50(150 - x) = 150 × 60 $
展开得：$ 70x + 7500 - 50x = 9000 $
合并同类项得：$ 20x = 1500 $
解得：$ x = 75 $
则不及格的学生人数为：$ 150 - 75 = 75 $（人）
【答案】
75，75
【知识点】
一元一次方程的应用，平均数的计算
【点评】
本题通过总分相等建立等量关系，考查了平均数的概念及方程思想的应用，属于基础应用题，解题关键是找准等量关系列方程。
【难度系数】
0.8
设及格的学生有$ x $人，则不及格的学生有$ (150 - x) $人。
根据总分相等列方程：
$ 70x + 50(150 - x) = 150 × 60 $
展开得：$ 70x + 7500 - 50x = 9000 $
合并同类项得：$ 20x = 1500 $
解得：$ x = 75 $
则不及格的学生人数为：$ 150 - 75 = 75 $（人）
【答案】
75，75
【知识点】
一元一次方程的应用，平均数的计算
【点评】
本题通过总分相等建立等量关系，考查了平均数的概念及方程思想的应用，属于基础应用题，解题关键是找准等量关系列方程。
【难度系数】
0.8
2. 通过实验,发现一定质量的某种气体在体积不变的情况下,压强 $ p $ (单位:$ \mathrm{kPa} $)和温度 $ T $ (单位:$ { }° \mathrm{C} $)的关系满足 $ p = aT + k $,当温度为 $ 100° \mathrm{C} $时,压强为 $ 140 \mathrm{kPa} $;当温度为 $ 60° \mathrm{C} $时,压强为 $ 124 \mathrm{kPa} $,则 $ a = $
0.4
, $ k = $100
.答案
2. 0.4，100
解析
【解析】
将温度和压强的两组对应值代入$p = aT + k$，得到方程组：
$\begin{cases}100a + k = 140 \\60a + k = 124\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$40a = 16$，解得$a = 0.4$。
将$a = 0.4$代入$100a + k = 140$，得：$100×0.4 + k = 140$，解得$k = 100$。
【答案】
0.4，100
【知识点】
一次函数解析式求解，二元一次方程组解法
【点评】
本题考查一次函数的实际应用，通过代入已知数据构建二元一次方程组求解参数，注重基础运算能力的考查，解题关键是准确建立方程组并正确求解。
【难度系数】
0.8
将温度和压强的两组对应值代入$p = aT + k$，得到方程组：
$\begin{cases}100a + k = 140 \\60a + k = 124\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$40a = 16$，解得$a = 0.4$。
将$a = 0.4$代入$100a + k = 140$，得：$100×0.4 + k = 140$，解得$k = 100$。
【答案】
0.4，100
【知识点】
一次函数解析式求解，二元一次方程组解法
【点评】
本题考查一次函数的实际应用，通过代入已知数据构建二元一次方程组求解参数，注重基础运算能力的考查，解题关键是准确建立方程组并正确求解。
【难度系数】
0.8
3. 某班组织野外活动,共租了若干辆汽车,若每辆汽车坐 10 人,则余下 8 人没车坐;若每辆汽车坐 12 人,则最后一辆车只有 10 人.设该班共有学生 $ x $ 人,共租汽车 $ y $ 辆,根据题意,可列出二元一次方程组为.
答案
3. $\begin{cases}x = 10y + 8, \\x = 12y - 2\end{cases}$
解析
【解析】
根据题意，由“每辆汽车坐10人，余下8人没车坐”，可得学生人数$x = 10y + 8$；
由“每辆汽车坐12人，最后一辆车只有10人”，可知前$y-1$辆车坐满12人，最后一辆坐10人，总人数$x = 12(y-1) + 10$，化简得$x = 12y - 2$。
因此可列出二元一次方程组为$\begin{cases}x = 10y + 8, \\x = 12y - 2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x = 10y + 8, \\x = 12y - 2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是准确分析题目中的两个等量关系，将文字描述转化为数学表达式。
【难度系数】
0.8
根据题意，由“每辆汽车坐10人，余下8人没车坐”，可得学生人数$x = 10y + 8$；
由“每辆汽车坐12人，最后一辆车只有10人”，可知前$y-1$辆车坐满12人，最后一辆坐10人，总人数$x = 12(y-1) + 10$，化简得$x = 12y - 2$。
因此可列出二元一次方程组为$\begin{cases}x = 10y + 8, \\x = 12y - 2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x = 10y + 8, \\x = 12y - 2\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是准确分析题目中的两个等量关系，将文字描述转化为数学表达式。
【难度系数】
0.8
4. 某城市现有人口 42 万,估计一年后城镇人口增加 $ 0.8 \% $,农村人口增加 $ 1.1 \% $,这样全市人口增加 $ 1 \% $,则这个城市现在的城镇人口和农村人口分别是
14 万
,28 万
.答案
4. 14 万 28 万
解析
【解析】
设这个城市现在的城镇人口为$ x $万，农村人口为$ y $万。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 42 \\(1 + 0.8\%)x + (1 + 1.1\%)y = 42 × (1 + 1\%)\end{cases}$
化简第二个方程得：
$1.008x + 1.011y = 42.42$
由第一个方程得$ x = 42 - y $，代入第二个方程：
$1.008(42 - y) + 1.011y = 42.42$
计算整理得：
$0.003y = 0.084 \\y = 28$
将$ y = 28 $代入$ x = 42 - y $，得$ x = 14 $。
【答案】
14万，28万
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际人口增长问题中的应用，需根据“现有人口总数”和“一年后全市人口增长情况”两个等量关系列方程组求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
设这个城市现在的城镇人口为$ x $万，农村人口为$ y $万。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 42 \\(1 + 0.8\%)x + (1 + 1.1\%)y = 42 × (1 + 1\%)\end{cases}$
化简第二个方程得：
$1.008x + 1.011y = 42.42$
由第一个方程得$ x = 42 - y $，代入第二个方程：
$1.008(42 - y) + 1.011y = 42.42$
计算整理得：
$0.003y = 0.084 \\y = 28$
将$ y = 28 $代入$ x = 42 - y $，得$ x = 14 $。
【答案】
14万，28万
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际人口增长问题中的应用，需根据“现有人口总数”和“一年后全市人口增长情况”两个等量关系列方程组求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
5. 一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 2;交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小 18.设十位上的数字为 $ x $,个位上的数字为 $ y $,列方程组为(
A.$ \begin{cases}x - y = 2, \\ 10x + y - (10y + x) = 18\end{cases} $
B.$ \begin{cases}x - y = 2, \\ 10y + x - (10x + y) = 18\end{cases} $
C.$ \begin{cases}y - x = 2, \\ 10x + y - (10y + x) = 18\end{cases} $
D.$ \begin{cases}y - x = 2, \\ 10y + x - (10x + y) = 18\end{cases} $
A
)A.$ \begin{cases}x - y = 2, \\ 10x + y - (10y + x) = 18\end{cases} $
B.$ \begin{cases}x - y = 2, \\ 10y + x - (10x + y) = 18\end{cases} $
C.$ \begin{cases}y - x = 2, \\ 10x + y - (10y + x) = 18\end{cases} $
D.$ \begin{cases}y - x = 2, \\ 10y + x - (10x + y) = 18\end{cases} $
答案
5. A
解析
【解析】
根据题意，十位上的数字比个位上的数字大2，可得方程$x - y = 2$；
原两位数为$10x + y$，交换后的两位数为$10y + x$，交换后得到的两位数比原数小18，即原数减去交换后的数等于18，可得方程$10x + y - (10y + x) = 18$；
因此列方程组为$\begin{cases}x - y = 2, \\ 10x + y - (10y + x) = 18\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的代数式表示
【点评】
本题主要考查根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是掌握两位数的表示方法，准确提取题目中的数量关系。
【难度系数】
0.9
根据题意，十位上的数字比个位上的数字大2，可得方程$x - y = 2$；
原两位数为$10x + y$，交换后的两位数为$10y + x$，交换后得到的两位数比原数小18，即原数减去交换后的数等于18，可得方程$10x + y - (10y + x) = 18$；
因此列方程组为$\begin{cases}x - y = 2, \\ 10x + y - (10y + x) = 18\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；两位数的代数式表示
【点评】
本题主要考查根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是掌握两位数的表示方法，准确提取题目中的数量关系。
【难度系数】
0.9
6. 在迎宾晚宴上,若每桌坐 12 人,则空出 3 张桌子;若每桌坐 10 人,则还有 12 人不能就座.设有嘉宾 $ x $ 名,共准备了 $ y $ 张桌子.根据题意,下列方程组正确的是(
A.$ \begin{cases}x = 12(y + 3), \\ x - 12 = 10y\end{cases} $
B.$ \begin{cases}x = 12(y - 3), \\ x - 12 = 10y\end{cases} $
C.$ \begin{cases}x = 12(y + 3), \\ x + 12 = 10y\end{cases} $
D.$ \begin{cases}x = 12(y - 3), \\ x + 12 = 10y\end{cases} $
B
)A.$ \begin{cases}x = 12(y + 3), \\ x - 12 = 10y\end{cases} $
B.$ \begin{cases}x = 12(y - 3), \\ x - 12 = 10y\end{cases} $
C.$ \begin{cases}x = 12(y + 3), \\ x + 12 = 10y\end{cases} $
D.$ \begin{cases}x = 12(y - 3), \\ x + 12 = 10y\end{cases} $
答案
6. B
解析
【解析】
根据题意分析等量关系：
1. 每桌坐12人，空出3张桌子，实际使用桌子数为$y - 3$，则嘉宾人数$x = 12(y - 3)$；
2. 每桌坐10人，还有12人不能就座，即坐满桌子的人数为$x - 12$，则$x - 12 = 10y$。
因此对应的方程组为选项B中的方程组。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是准确找出两种坐法下嘉宾人数与桌子数量之间的等量关系。
【难度系数】
0.8
根据题意分析等量关系：
1. 每桌坐12人，空出3张桌子，实际使用桌子数为$y - 3$，则嘉宾人数$x = 12(y - 3)$；
2. 每桌坐10人，还有12人不能就座，即坐满桌子的人数为$x - 12$，则$x - 12 = 10y$。
因此对应的方程组为选项B中的方程组。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是准确找出两种坐法下嘉宾人数与桌子数量之间的等量关系。
【难度系数】
0.8
