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12. 甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才 4 岁.”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将 61 岁.”设甲现在 x 岁，乙现在 y 岁，可列方程组为 (
A.$\begin{cases}y-(x-y)=4,\\x+(x-y)=61\end{cases}$
B.$\begin{cases}y+(x-y)=4,\\x-(x-y)=61\end{cases}$
C.$\begin{cases}x-(y+x)=4,\\y+(y+x)=61\end{cases}$
D.$\begin{cases}y+(y+x)=61,\\x-(y+x)=4\end{cases}$
A
)A.$\begin{cases}y-(x-y)=4,\\x+(x-y)=61\end{cases}$
B.$\begin{cases}y+(x-y)=4,\\x-(x-y)=61\end{cases}$
C.$\begin{cases}x-(y+x)=4,\\y+(y+x)=61\end{cases}$
D.$\begin{cases}y+(y+x)=61,\\x-(y+x)=4\end{cases}$
答案
12. A
解析
【解析】
两人的年龄差为$x - y$，且年龄差始终不变。
根据甲的表述：当甲的岁数是乙现在的岁数$y$时，乙的年龄为$y - (x - y) = 4$；
根据乙的表述：当乙的岁数是甲现在的岁数$x$时，甲的年龄为$x + (x - y) = 61$；
因此可列对应方程组，即选项A的方程组。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用、年龄差不变
【点评】
本题考查二元一次方程组在年龄问题中的应用，核心是抓住“年龄差始终不变”这一关键，通过分析年龄变化前后的数量关系列方程组，考验学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
两人的年龄差为$x - y$，且年龄差始终不变。
根据甲的表述：当甲的岁数是乙现在的岁数$y$时，乙的年龄为$y - (x - y) = 4$；
根据乙的表述：当乙的岁数是甲现在的岁数$x$时，甲的年龄为$x + (x - y) = 61$；
因此可列对应方程组，即选项A的方程组。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组应用、年龄差不变
【点评】
本题考查二元一次方程组在年龄问题中的应用，核心是抓住“年龄差始终不变”这一关键，通过分析年龄变化前后的数量关系列方程组，考验学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
13. 某地政府筹集了医疗物资 120 吨打算运往疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)
(1)全部物资可用甲型车 8 辆，乙型车 5 辆，丙型车
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8 200 元，问：分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为 14 辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
(1)全部物资可用甲型车 8 辆，乙型车 5 辆，丙型车
4
辆来运送.(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费 8 200 元，问：分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为 14 辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？
答案
13. (1)4
(2)解：设需甲车 x 辆，乙车 y 辆，
根据题意得$\begin{cases}5x + 8y = 120,\\400x + 500y = 8200.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 8,\\y = 10.\end{cases}$
答：分别需甲、乙两种车型为 8 辆和 10 辆。
(3)解：设甲车有 a 辆，乙车有 b 辆，则丙车有(14 - a - b)辆，由题意，得 5a + 8b + 10(14 - a - b) = 120. 化简，得 5a + 2b = 20，即 $a = 4 - \frac{2}{5}b$。
∵a，b，(14 - a - b)均为正整数。
∴b 只能等于 5，从而 a = 2，14 - a - b = 7。
∴甲车 2 辆，乙车 5 辆，丙车 7 辆。
∴需运费 400×2 + 500×5 + 600×7 = 7500(元)。
答：甲车 2 辆，乙车 5 辆，丙车 7 辆，需运费 7500 元。
(2)解：设需甲车 x 辆，乙车 y 辆，
根据题意得$\begin{cases}5x + 8y = 120,\\400x + 500y = 8200.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 8,\\y = 10.\end{cases}$
答：分别需甲、乙两种车型为 8 辆和 10 辆。
(3)解：设甲车有 a 辆，乙车有 b 辆，则丙车有(14 - a - b)辆，由题意，得 5a + 8b + 10(14 - a - b) = 120. 化简，得 5a + 2b = 20，即 $a = 4 - \frac{2}{5}b$。
∵a，b，(14 - a - b)均为正整数。
∴b 只能等于 5，从而 a = 2，14 - a - b = 7。
∴甲车 2 辆，乙车 5 辆，丙车 7 辆。
∴需运费 400×2 + 500×5 + 600×7 = 7500(元)。
答：甲车 2 辆，乙车 5 辆，丙车 7 辆，需运费 7500 元。
解析
【解析】
(1) 计算甲型车8辆与乙型车5辆的运载总量：$5×8 + 8×5 = 80$（吨），
剩余物资：$120 - 80 = 40$（吨），
丙型车辆数：$40÷10 = 4$（辆）。
(2) 设需甲型车$x$辆，乙型车$y$辆，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 8y = 120 ①\\400x + 500y = 8200 ②\end{cases}$
将②化简为：$4x + 5y = 82$ ③
①×4得：$20x + 32y = 480$ ④
③×5得：$20x + 25y = 410$ ⑤
④-⑤得：$7y = 70$，解得$y = 10$，
将$y = 10$代入①得：$5x + 8×10 = 120$，解得$x = 8$。
(3) 设甲车$a$辆，乙车$b$辆，则丙车$(14 - a - b)$辆，
由题意得：$5a + 8b + 10(14 - a - b) = 120$，
化简得：$5a + 2b = 20$，即$a = 4 - \frac{2}{5}b$，
∵$a$，$b$，$14 - a - b$均为正整数，
∴$b$为5的正整数倍，取$b = 5$，则$a = 4 - \frac{2}{5}×5 = 2$，
丙车辆数：$14 - 2 - 5 = 7$（辆），
运费：$400×2 + 500×5 + 600×7 = 7500$（元）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 需甲型车$\boldsymbol{8}$辆，乙型车$\boldsymbol{10}$辆。
(3) 甲车$\boldsymbol{2}$辆，乙车$\boldsymbol{5}$辆，丙车$\boldsymbol{7}$辆，此时运费为$\boldsymbol{7500}$元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，实际运费优化
【点评】
本题结合实际运输问题，考查了方程组与不定方程的应用，需结合正整数条件求解，提升了数学建模与实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
(1) 计算甲型车8辆与乙型车5辆的运载总量：$5×8 + 8×5 = 80$（吨），
剩余物资：$120 - 80 = 40$（吨），
丙型车辆数：$40÷10 = 4$（辆）。
(2) 设需甲型车$x$辆，乙型车$y$辆，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 8y = 120 ①\\400x + 500y = 8200 ②\end{cases}$
将②化简为：$4x + 5y = 82$ ③
①×4得：$20x + 32y = 480$ ④
③×5得：$20x + 25y = 410$ ⑤
④-⑤得：$7y = 70$，解得$y = 10$，
将$y = 10$代入①得：$5x + 8×10 = 120$，解得$x = 8$。
(3) 设甲车$a$辆，乙车$b$辆，则丙车$(14 - a - b)$辆，
由题意得：$5a + 8b + 10(14 - a - b) = 120$，
化简得：$5a + 2b = 20$，即$a = 4 - \frac{2}{5}b$，
∵$a$，$b$，$14 - a - b$均为正整数，
∴$b$为5的正整数倍，取$b = 5$，则$a = 4 - \frac{2}{5}×5 = 2$，
丙车辆数：$14 - 2 - 5 = 7$（辆），
运费：$400×2 + 500×5 + 600×7 = 7500$（元）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) 需甲型车$\boldsymbol{8}$辆，乙型车$\boldsymbol{10}$辆。
(3) 甲车$\boldsymbol{2}$辆，乙车$\boldsymbol{5}$辆，丙车$\boldsymbol{7}$辆，此时运费为$\boldsymbol{7500}$元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，实际运费优化
【点评】
本题结合实际运输问题，考查了方程组与不定方程的应用，需结合正整数条件求解，提升了数学建模与实际问题解决能力。
【难度系数】
0.6
