1. 下列式子是分式的是()

A.$\frac{7}{8}$
B.$\frac{3}{x}$
C.$\frac{x + 1}{2}$
D.$2x + y$

1. B

【分析】
要判断一个式子是否为分式，关键依据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。我们需要逐个分析选项，看哪个式子符合分式的定义。
【解析】
根据分式的定义逐一判断：
选项A：$\frac{7}{8}$的分母是常数8，不含有字母，属于整式（分数），不是分式；
选项B：$\frac{3}{x}$的分母是x，含有字母，且x是整式，符合分式的定义，是分式；
选项C：$\frac{x + 1}{2}$的分母是常数2，不含有字母，属于整式（多项式），不是分式；
选项D：$2x + y$是多项式，属于整式，不是分式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题主要考查分式的定义，解题的关键是准确区分分式与整式，牢记分式的核心特征是分母中含有字母，难度较低，属于基础题。
【难度系数】
0.9

2. 当 $x$ 为任意实数时，下列分式一定有意义的是()

A.$\frac{x + 1}{\vert x\vert}$
B.$\frac{x + 1}{x^2}$
C.$\frac{x + 1}{x^2 + 1}$
D.$\frac{x + 1}{x^2 - 4}$

2. C

【分析】
要判断分式一定有意义，需保证分母在x为任意实数时恒不为0。我们依次分析每个选项的分母：
1. 对于选项A，分母是|x|，当x=0时，|x|=0，此时分式无意义，不符合要求；
2. 对于选项B，分母是x²，当x=0时，x²=0，此时分式无意义，不符合要求；
3. 对于选项C，分母是x²+1，因为任意实数的平方是非负数，即x²≥0，所以x²+1≥1，永远不会等于0，无论x取何实数，分母都不为0，分式一定有意义；
4. 对于选项D，分母是x²-4，当x=2或x=-2时，x²-4=0，此时分式无意义，不符合要求。
综上，只有选项C满足条件。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0。
选项A：当$x=0$时，$\vert x\vert=0$，分式无意义；
选项B：当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义；
选项C：因为$x^2≥0$，所以$x^2+1≥1$，即分母$x^2+1$恒不为0，无论$x$取何实数，分式都有意义；
选项D：当$x=\pm2$时，$x^2-4=0$，分式无意义。
因此，一定有意义的分式是选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题主要考查分式有意义的条件，解题关键是明确“分式有意义则分母不为0”，同时要熟练利用平方的非负性判断分母是否恒不为0，避免忽略特殊值导致错误。
【难度系数】
0.8

3. 已知当 $x = -2$ 时，分式 $\frac{x - 1}{□}$ 无意义，则 $□$ 可以是()

A.$2 - x$
B.$x - 2$
C.$2x + 4$
D.$x + 4$

3. C

【分析】
要解决这道题，首先需明确分式无意义的条件：当分式的分母为0时，分式无意义。题目给出当$x=-2$时该分式无意义，因此我们只需要将$x=-2$代入各个选项中的式子，找出结果为0的选项即可。
【解析】
分式无意义的条件是分母的值为0，将$x=-2$分别代入各选项计算：
选项A：$2 - x = 2 - (-2) = 4 ≠ 0$，不符合要求；
选项B：$x - 2 = -2 - 2 = -4 ≠ 0$，不符合要求；
选项C：$2x + 4 = 2×(-2) + 4 = -4 + 4 = 0$，符合分母为0的条件；
选项D：$x + 4 = -2 + 4 = 2 ≠ 0$，不符合要求。
因此，□可以是$2x + 4$，选C。
【答案】
C
【知识点】
分式无意义的条件
【点评】
本题考查分式无意义的核心知识点，解题思路清晰直接，只需牢记“分母为0时分式无意义”这一关键，通过代入数值计算即可得出答案，属于基础题型，有助于巩固分式的基本性质。
【难度系数】
0.8

4. 若分式 $\frac{a + 1}{2a - 1}$ 的值为 $0$，则()

A.$a = -1$
B.$a ≠ -1$
C.$a = \frac{1}{2}$
D.$a ≠ \frac{1}{2}$

4. A

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0的两个核心条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（分母为0时分式无意义）。我们先根据分子为0求出a的可能取值，再验证该取值是否满足分母不为0的条件，从而确定最终符合要求的a值。
【解析】
要使分式$\frac{a + 1}{2a - 1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：$a + 1 = 0$，解得$a = -1$；
2. 分母不为0：$2a - 1 ≠ 0$，解得$a ≠ \frac{1}{2}$。
将$a = -1$代入分母验证：$2×(-1)-1 = -3 ≠ 0$，满足分母不为0的条件，因此$a = -1$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件
【点评】
本题重点考查分式值为0的判定条件，解题时容易遗漏分母不为0这一关键限制，需明确只有同时满足分子为0且分母不为0，分式的值才为0。
【难度系数】
0.8

5. 已知分式 $\frac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 1)(x - 3)}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围为()

A.$x ≠ -1$ 且 $x ≠ 3$
B.$x ≠ 3$
C.$x ≠ -1$
D.$x ≠ -1$ 或 $x ≠ 3$

5. A

【分析】
要解决这道题，首先需明确分式有意义的核心条件：分式的分母不能为零。接下来找到题目中分式的分母，让分母不等于零，通过分析分母的因式组成，解出x的取值范围，再匹配选项即可。具体来说，该分式分母是$(x + 1)(x - 3)$，由于乘积不为零则每个因式都不能为零，所以要分别让两个因式不等于零，最终取两个条件的交集得到x的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为零，对于分式$\frac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 1)(x - 3)}$，其分母为$(x + 1)(x - 3)$，因此需满足：
$(x + 1)(x - 3) ≠ 0$
根据“多个因式相乘的积不为零，则每个因式都不为零”，可得：
$x + 1 ≠ 0$ 且 $x - 3 ≠ 0$
解得：$x ≠ -1$ 且 $x ≠ 3$
因此x的取值范围对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题聚焦分式有意义的基础知识点，关键在于理解分母为乘积形式时，需保证每个因式都不为零，同时要准确区分“且”与“或”的逻辑关系：只有x同时满足不等于-1和不等于3时，分母才不为零，不能混淆逻辑词导致错误。
【难度系数】
0.8

6. 若分式 $\frac{2x}{3 - x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是。

6. $ x ≠ 3 $

【分析】
要确定分式有意义时$x$的取值范围，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式的分母是$3 - x$，因此只需让分母$3 - x$不等于0，解这个简单的不等式就能得到$x$的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\frac{2x}{3 - x}$，其分母为$3 - x$，因此需满足：
$3 - x ≠ 0$
移项求解可得：
$x ≠ 3$
【答案】
$x ≠ 3$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是分式的基础题型，重点考察分式有意义的核心规则，只要牢记“分式分母不能为0”这一知识点，即可快速求解，需注意不要与分式值为0的条件混淆。
【难度系数】
0.9

7. 当 $x = 2$，$y = -1$ 时，$\frac{x - y}{x + y^2} =$。

7. 1

【分析】
这是一道代数式求值的基础题，解题思路是将已知的x和y的值代入代数式中，再按照有理数的运算顺序逐步计算。首先明确代入规则，负数代入时要注意符号，然后分别计算分子和分母的值，最后进行除法运算得到结果。
【解析】
将$x = 2$，$y = -1$代入代数式$\frac{x - y}{x + y^2}$中：
1. 计算分子：$x - y = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$；
2. 计算分母：$x + y^2 = 2 + (-1)^2 = 2 + 1 = 3$；
3. 计算分式的值：$\frac{3}{3} = 1$。
【答案】
1
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算
【点评】
本题主要考查代数式求值的基本运算，重点在于代入负数时的符号处理以及乘方运算的优先级，运算过程较为简单，只要细心计算就能得出正确结果，适合巩固代数式求值的基础方法。
【难度系数】
0.9

8. 已知分式 $\frac{x - 1}{2 - 3x}$，回答下列问题。
（1）若分式无意义，求 $x$ 的值。
（2）若分式的值为零，求 $x$ 的值。

8. 解：(1)由题意得 $ 2 - 3x = 0 $，解得 $ x = \frac{2}{3} $。
(2)由题意得 $ x - 1 = 0 $，且 $ 2 - 3x ≠ 0 $，所以 $ x = 1 $。

【分析】
要解决这两个问题，需紧扣分式的核心性质展开思考：
1. 分式无意义的判定：根据分式定义，当分母为0时，分式失去意义，因此第一问只需令分母等于0，解方程即可得到x的值。
2. 分式值为0的判定：需同时满足两个条件，一是分子为0，二是分母不为0（保证分式有意义）。所以第二问先通过分子为0求出x的可能值，再验证该值下分母是否不为0，最终确定符合要求的x值。
【解析】
(1) 若分式无意义，则分母为0，即：
$2 - 3x = 0$
移项得：$3x = 2$
解得：$x = \frac{2}{3}$
(2) 若分式的值为零，则需满足分子为0且分母不为0：
① 令分子为0，即$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
② 验证分母：当$x=1$时，$2 - 3×1 = -1 ≠ 0$，满足分母不为0的条件，因此$x = 1$。
【答案】
(1) $x = \frac{2}{3}$；(2) $x = 1$
【知识点】
分式无意义的条件、分式值为零的条件
【点评】
本题聚焦分式的基础性质，关键在于区分分式无意义与分式值为零的不同条件，尤其要注意分式值为零时，必须同时满足分子为零和分母不为零，切勿遗漏分母不为零的验证环节，这是易出错的考点。
【难度系数】
0.8

9. 当 $m$ 为何值时，分式的值为 $0$？
（1）$\frac{m}{m - 1}$。
（2）$\frac{\vert m\vert - 2}{m + 2}$。
（3）$\frac{m^2 - 1}{m + 1}$。

9. 解：(1)因为 $ \begin{cases} m = 0, \\ m - 1 ≠ 0, \end{cases} $ 所以 $ m = 0 $。
(2)因为 $ \begin{cases} |m| - 2 = 0, \\ m + 2 ≠ 0, \end{cases} $ 所以 $ m = 2 $。
(3)因为 $ \begin{cases} m^{2} - 1 = 0, \\ m + 1 ≠ 0, \end{cases} $ 所以 $ m = 1 $。

【分析】
要使分式的值为0，需同时满足两个核心条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，二者缺一不可。解题思路如下：
1. 针对每个分式，先令分子等于0，求出m的所有可能取值；
2. 再根据分母不为0的条件，排除掉会使分母为0的m值；
3. 最终剩余的m值就是使分式值为0的解。
具体到各小题：
(1) 先令分子m=0，再验证分母m-1≠0（即m≠1），确定m=0符合条件；
(2) 先令分子|m|-2=0，解得m=±2，再通过分母m+2≠0排除m=-2，得到m=2；
(3) 先令分子m²-1=0，解得m=±1，再通过分母m+1≠0排除m=-1，得到m=1。
【解析】
(1) 要使$\frac{m}{m - 1}$的值为0，需满足：
$\begin{cases} m = 0, \\ m - 1 ≠ 0, \end{cases}$
由$m - 1 ≠ 0$得$m ≠ 1$，结合$m=0$，故$m = 0$。
(2) 要使$\frac{\vert m\vert - 2}{m + 2}$的值为0，需满足：
$\begin{cases} |m| - 2 = 0, \\ m + 2 ≠ 0, \end{cases}$
由$|m| - 2 = 0$得$m=2$或$m=-2$，由$m + 2 ≠ 0$得$m≠-2$，故$m = 2$。
(3) 要使$\frac{m^2 - 1}{m + 1}$的值为0，需满足：
$\begin{cases} m^{2} - 1 = 0, \\ m + 1 ≠ 0, \end{cases}$
由$m^{2} - 1 = 0$得$(m+1)(m-1)=0$，即$m=1$或$m=-1$，由$m + 1 ≠ 0$得$m≠-1$，故$m = 1$。
【答案】
(1) $m=0$；(2) $m=2$；(3) $m=1$
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值方程求解、一元二次方程求解
【点评】
本题聚焦分式值为0的核心考点，解题的关键是严格遵循“分子为0且分母不为0”的双重条件，容易出现的错误是仅考虑分子为0而忽略分母不为0的限制，导致误判，因此求解后一定要检验分母是否不为0，排除增根。
【难度系数】
0.8