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【例 4】已知$A=a+2$，$B=a^{2}+a-7$，其中$a＞2$，求出$A$与$B$哪个大。
答案
解:$B-A=a^{2}+a-7-a-2=a^{2}-9=(a+3)(a-3)$。因为$a＞2$,所以$a+3＞0$。当$2＜a＜3$时,$a-3＜0$,所以$A＞B$;当$a=3$时,$a-3=0$,所以$A=B$;当$a＞3$时,$a-3＞0$,所以$A＜B$。
解析
【分析】
要比较两个代数式A和B的大小，常用作差法：先计算B-A的差值，通过判断差值的正负来确定A与B的大小关系。首先代入A、B的表达式化简差值，再用平方差公式因式分解，结合已知$a＞2$分析因式的正负性，最后根据$a-3$的正负分情况讨论，即可得出A和B的大小关系。具体思路：先化简B-A得到$(a+3)(a-3)$，因$a＞2$，$a+3$必为正，所以差值的正负由$a-3$决定，因此分$2＜a＜3$、$a=3$、$a＞3$三种情况讨论。
【解析】
解：计算$B - A$，将$A = a + 2$，$B = a^2 + a - 7$代入可得：
$\begin{aligned}B - A&=(a^2 + a - 7)-(a + 2)\\&=a^2 + a - 7 - a - 2\\&=a^2 - 9\\&=(a + 3)(a - 3)\end{aligned}$
因为$a＞2$，所以$a + 3＞0$。
当$2＜a＜3$时，$a - 3＜0$，则$(a + 3)(a - 3)＜0$，即$B - A＜0$，故$A＞B$；
当$a = 3$时，$a - 3 = 0$，则$(a + 3)(a - 3)=0$，即$B - A=0$，故$A = B$；
当$a＞3$时，$a - 3＞0$，则$(a + 3)(a - 3)＞0$，即$B - A＞0$，故$A＜B$。
【答案】
当$2＜a＜3$时，$A＞B$；当$a=3$时，$A=B$；当$a＞3$时，$A＜B$。
【知识点】
作差法比较大小、平方差公式、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查作差法比较代数式大小，结合因式分解与分类讨论思想。解题关键是正确化简差值，并根据$a$的取值范围全面分情况讨论，避免遗漏$a=3$的情况，需准确分析因式正负性对差值的影响。
【难度系数】
0.6
要比较两个代数式A和B的大小，常用作差法：先计算B-A的差值，通过判断差值的正负来确定A与B的大小关系。首先代入A、B的表达式化简差值，再用平方差公式因式分解，结合已知$a＞2$分析因式的正负性，最后根据$a-3$的正负分情况讨论，即可得出A和B的大小关系。具体思路：先化简B-A得到$(a+3)(a-3)$，因$a＞2$，$a+3$必为正，所以差值的正负由$a-3$决定，因此分$2＜a＜3$、$a=3$、$a＞3$三种情况讨论。
【解析】
解：计算$B - A$，将$A = a + 2$，$B = a^2 + a - 7$代入可得：
$\begin{aligned}B - A&=(a^2 + a - 7)-(a + 2)\\&=a^2 + a - 7 - a - 2\\&=a^2 - 9\\&=(a + 3)(a - 3)\end{aligned}$
因为$a＞2$，所以$a + 3＞0$。
当$2＜a＜3$时，$a - 3＜0$，则$(a + 3)(a - 3)＜0$，即$B - A＜0$，故$A＞B$；
当$a = 3$时，$a - 3 = 0$，则$(a + 3)(a - 3)=0$，即$B - A=0$，故$A = B$；
当$a＞3$时，$a - 3＞0$，则$(a + 3)(a - 3)＞0$，即$B - A＞0$，故$A＜B$。
【答案】
当$2＜a＜3$时，$A＞B$；当$a=3$时，$A=B$；当$a＞3$时，$A＜B$。
【知识点】
作差法比较大小、平方差公式、分类讨论思想
【点评】
本题核心考查作差法比较代数式大小，结合因式分解与分类讨论思想。解题关键是正确化简差值，并根据$a$的取值范围全面分情况讨论，避免遗漏$a=3$的情况，需准确分析因式正负性对差值的影响。
【难度系数】
0.6
【变式】已知$P=\frac{7}{15}m-1$，$Q=m^{2}-\frac{8}{15}m$($m$为任意实数)，则$P$，$Q$的大小关系(
A.为$P＞Q$
B.为$P=Q$
C.为$P＜Q$
D.不能确定
C
)A.为$P＞Q$
B.为$P=Q$
C.为$P＜Q$
D.不能确定
答案
C【解析】因为$P=\frac {7}{15}m-1,Q=m^{2}-\frac {8}{15}m$,所以$Q-P=m^{2}-\frac {8}{15}m-\frac {7}{15}m+1=m^{2}-m+1=(m-\frac {1}{2})^{2}+\frac {3}{4}≥\frac {3}{4}$,所以$P＜Q$。
解析
【分析】
要比较P和Q的大小，可采用作差法：先计算Q-P的差值，再判断差值的正负性。若差值大于0，则Q＞P；若等于0，则P=Q；若小于0，则P＞Q。具体步骤为将P、Q代入Q-P，化简后通过配方法结合完全平方的非负性分析差值的取值范围，进而得出结论。
【解析】
已知$P=\frac{7}{15}m - 1$，$Q=m^{2}-\frac{8}{15}m$，计算$Q-P$：
$\begin{aligned}Q-P&=m^{2}-\frac{8}{15}m - (\frac{7}{15}m - 1)\\&=m^{2}-\frac{8}{15}m - \frac{7}{15}m + 1\\&=m^{2}-m + 1\\&=(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\end{aligned}$
因为任意实数的平方均为非负数，即$(m-\frac{1}{2})^{2}≥0$，所以$(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$Q-P＞0$，因此$P＜Q$。
【答案】
C
【知识点】
1. 作差法比较大小
2. 配方法
3. 完全平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，核心考查作差法的应用，结合配方法和完全平方的非负性判断差值符号，解题思路清晰，是初中代数中需要掌握的基础方法，有助于提升代数式变形和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要比较P和Q的大小，可采用作差法：先计算Q-P的差值，再判断差值的正负性。若差值大于0，则Q＞P；若等于0，则P=Q；若小于0，则P＞Q。具体步骤为将P、Q代入Q-P，化简后通过配方法结合完全平方的非负性分析差值的取值范围，进而得出结论。
【解析】
已知$P=\frac{7}{15}m - 1$，$Q=m^{2}-\frac{8}{15}m$，计算$Q-P$：
$\begin{aligned}Q-P&=m^{2}-\frac{8}{15}m - (\frac{7}{15}m - 1)\\&=m^{2}-\frac{8}{15}m - \frac{7}{15}m + 1\\&=m^{2}-m + 1\\&=(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\end{aligned}$
因为任意实数的平方均为非负数，即$(m-\frac{1}{2})^{2}≥0$，所以$(m-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$Q-P＞0$，因此$P＜Q$。
【答案】
C
【知识点】
1. 作差法比较大小
2. 配方法
3. 完全平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的典型题型，核心考查作差法的应用，结合配方法和完全平方的非负性判断差值符号，解题思路清晰，是初中代数中需要掌握的基础方法，有助于提升代数式变形和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 计算：$101×102^{2}-101×98^{2}=$(
A.404
B.808
C.40 400
D.80 800
D
)A.404
B.808
C.40 400
D.80 800
答案
1. D
解析
【分析】
观察算式可知，两项中都含有公因式101，首先提取公因式将原式简化；提取公因式后剩下的部分是两个数的平方差，符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解计算，这样可以避免直接计算大数平方，简化运算过程，降低出错率。具体步骤为：先提公因式，再用平方差公式分解，最后依次计算得出结果。
【解析】
$\begin{aligned}&101×102^{2}-101×98^{2}\\=&101×(102^{2}-98^{2}) \quad \mathrm{（提取公因式101）}\\=&101×(102+98)×(102-98) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{）}\\=&101×200×4\\=&101×800\\=&80800\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解在整式乘法运算中的应用，通过提取公因式和平方差公式将复杂的大数运算转化为简单的整数乘法，有效简化计算过程。解题关键是准确识别式子的结构特点，灵活运用因式分解公式，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
观察算式可知，两项中都含有公因式101，首先提取公因式将原式简化；提取公因式后剩下的部分是两个数的平方差，符合平方差公式的形式，再利用平方差公式进一步分解计算，这样可以避免直接计算大数平方，简化运算过程，降低出错率。具体步骤为：先提公因式，再用平方差公式分解，最后依次计算得出结果。
【解析】
$\begin{aligned}&101×102^{2}-101×98^{2}\\=&101×(102^{2}-98^{2}) \quad \mathrm{（提取公因式101）}\\=&101×(102+98)×(102-98) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{）}\\=&101×200×4\\=&101×800\\=&80800\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
提取公因式法、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解在整式乘法运算中的应用，通过提取公因式和平方差公式将复杂的大数运算转化为简单的整数乘法，有效简化计算过程。解题关键是准确识别式子的结构特点，灵活运用因式分解公式，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
2. 若$x+y=3$，$x-y=1$，则$x^{2}-y^{2}=$(
A.1
B.2
C.3
D.$-3$
C
)A.1
B.2
C.3
D.$-3$
答案
2. C
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2 - y^2$，可联想到平方差公式，将其因式分解为$(x+y)(x-y)$。题目中已经直接给出$x+y=3$和$x-y=1$这两个条件，无需单独求解$x$和$y$的值，直接将已知条件代入分解后的式子即可计算出结果。
【解析】
根据平方差公式：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
已知$x+y=3$，$x-y=1$，将其代入上式得：
$x^2 - y^2=3×1=3$，
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，属于基础题型。解题关键是熟练掌握平方差公式的形式，通过因式分解将所求代数式转化为已知条件的组合，避免繁琐的解方程步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
首先观察所求代数式$x^2 - y^2$，可联想到平方差公式，将其因式分解为$(x+y)(x-y)$。题目中已经直接给出$x+y=3$和$x-y=1$这两个条件，无需单独求解$x$和$y$的值，直接将已知条件代入分解后的式子即可计算出结果。
【解析】
根据平方差公式：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，
已知$x+y=3$，$x-y=1$，将其代入上式得：
$x^2 - y^2=3×1=3$，
所以答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的直接应用，属于基础题型。解题关键是熟练掌握平方差公式的形式，通过因式分解将所求代数式转化为已知条件的组合，避免繁琐的解方程步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
3. 若$4x^{2}-3xy+2=0$，$y^{2}-xy-18=0$，则$2x-y$的值是(
A.4
B.2
C.$\pm 2$
D.$\pm 4$
D
)A.4
B.2
C.$\pm 2$
D.$\pm 4$
答案
3. D
解析
【分析】
本题若直接求解x、y的值，计算会比较繁琐。我们可以观察目标式$2x-y$，其完全平方形式为$(2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2$，因此考虑将已知的两个方程进行变形组合，凑出这个完全平方的形式。首先把两个方程分别变形为含$4x^2-3xy$和$y^2-xy$的式子，再将它们相加，左边即可得到$4x^2-4xy+y^2$，进而求出$2x-y$的值。
【解析】
1. 对已知方程进行变形：
由$4x^2 - 3xy + 2 = 0$，移项得：$4x^2 - 3xy = -2$ ①；
由$y^2 - xy - 18 = 0$，移项得：$y^2 - xy = 18$ ②；
2. 构造完全平方：
将①和②相加，可得：
$4x^2 - 3xy + y^2 - xy = -2 + 18$，
整理左边：$4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$，
右边计算得：$16$，
即$(2x - y)^2 = 16$；
3. 求解$2x-y$：
对等式两边开平方，得$2x - y = \pm 4$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，代数式变形
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是观察目标式与已知方程的结构特征，通过巧妙变形构造出完全平方形式，避免了复杂的二元二次方程组求解，体现了整体思想在代数解题中的应用。
【难度系数】
0.5
本题若直接求解x、y的值，计算会比较繁琐。我们可以观察目标式$2x-y$，其完全平方形式为$(2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2$，因此考虑将已知的两个方程进行变形组合，凑出这个完全平方的形式。首先把两个方程分别变形为含$4x^2-3xy$和$y^2-xy$的式子，再将它们相加，左边即可得到$4x^2-4xy+y^2$，进而求出$2x-y$的值。
【解析】
1. 对已知方程进行变形：
由$4x^2 - 3xy + 2 = 0$，移项得：$4x^2 - 3xy = -2$ ①；
由$y^2 - xy - 18 = 0$，移项得：$y^2 - xy = 18$ ②；
2. 构造完全平方：
将①和②相加，可得：
$4x^2 - 3xy + y^2 - xy = -2 + 18$，
整理左边：$4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$，
右边计算得：$16$，
即$(2x - y)^2 = 16$；
3. 求解$2x-y$：
对等式两边开平方，得$2x - y = \pm 4$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，代数式变形
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是观察目标式与已知方程的结构特征，通过巧妙变形构造出完全平方形式，避免了复杂的二元二次方程组求解，体现了整体思想在代数解题中的应用。
【难度系数】
0.5
4. 对于任意整数$a(a≠0)$，多项式$(3a+5)^{2}-4$都能(
A.被 9 整除
B.被$a$整除
C.被$(a+1)$整除
D.被$(a-1)$整除
C
)A.被 9 整除
B.被$a$整除
C.被$(a+1)$整除
D.被$(a-1)$整除
答案
4. C
解析
【分析】
首先观察多项式的结构，发现它符合平方差公式的形式（$A^2-B^2$），因此优先考虑用平方差公式进行因式分解。分解后得到乘积形式的式子，再通过分析因式组成或代入特殊值的方法，逐一验证每个选项是否满足“对于任意非零整数$a$都能整除”的条件：
1. 先将多项式转化为平方差形式：$(3a+5)^2 - 2^2$；
2. 利用平方差公式分解为$(3a+5-2)(3a+5+2)$，化简后得到$3(a+1)(3a+7)$；
3. 对每个选项，要么看分解后的式子是否包含该选项的因式，要么代入特殊值验证是否能整除，从而排除错误选项，确定正确答案。
【解析】
对多项式进行因式分解：
$\begin{aligned}(3a+5)^2 - 4&=(3a+5)^2 - 2^2\\&=(3a+5-2)(3a+5+2)\\&=(3a+3)(3a+7)\\&=3(a+1)(3a+7)\end{aligned}$
逐一分析选项：
选项A：取$a=1$，代入得原式$=3×(1+1)×(3×1+7)=60$，$60÷9\approx6.67$，不是整数，故不能被9整除；
选项B：取$a=4$，代入得原式$=3×(4+1)×(3×4+7)=285$，$285÷4=71.25$，不是整数，故不能被$a$整除；
选项C：因式分解结果中包含$(a+1)$，因此对于任意非零整数$a$，多项式都能被$(a+1)$整除；
选项D：取$a=1$时，$a-1=0$，无意义，且分解后的式子不含$(a-1)$因式，故不能被$(a-1)$整除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，整除的概念
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用及整除的判断，解题核心是通过因式分解将多项式转化为乘积形式，再结合特殊值验证或因式分析来排除错误选项。需要注意“任意整数$a(a≠0)$”的限制，确保结论对所有符合条件的$a$都成立。
【难度系数】
0.6
首先观察多项式的结构，发现它符合平方差公式的形式（$A^2-B^2$），因此优先考虑用平方差公式进行因式分解。分解后得到乘积形式的式子，再通过分析因式组成或代入特殊值的方法，逐一验证每个选项是否满足“对于任意非零整数$a$都能整除”的条件：
1. 先将多项式转化为平方差形式：$(3a+5)^2 - 2^2$；
2. 利用平方差公式分解为$(3a+5-2)(3a+5+2)$，化简后得到$3(a+1)(3a+7)$；
3. 对每个选项，要么看分解后的式子是否包含该选项的因式，要么代入特殊值验证是否能整除，从而排除错误选项，确定正确答案。
【解析】
对多项式进行因式分解：
$\begin{aligned}(3a+5)^2 - 4&=(3a+5)^2 - 2^2\\&=(3a+5-2)(3a+5+2)\\&=(3a+3)(3a+7)\\&=3(a+1)(3a+7)\end{aligned}$
逐一分析选项：
选项A：取$a=1$，代入得原式$=3×(1+1)×(3×1+7)=60$，$60÷9\approx6.67$，不是整数，故不能被9整除；
选项B：取$a=4$，代入得原式$=3×(4+1)×(3×4+7)=285$，$285÷4=71.25$，不是整数，故不能被$a$整除；
选项C：因式分解结果中包含$(a+1)$，因此对于任意非零整数$a$，多项式都能被$(a+1)$整除；
选项D：取$a=1$时，$a-1=0$，无意义，且分解后的式子不含$(a-1)$因式，故不能被$(a-1)$整除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，整除的概念
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用及整除的判断，解题核心是通过因式分解将多项式转化为乘积形式，再结合特殊值验证或因式分析来排除错误选项。需要注意“任意整数$a(a≠0)$”的限制，确保结论对所有符合条件的$a$都成立。
【难度系数】
0.6
5. 已知$M=8x^{2}-y^{2}+6x-2$，$N=9x^{2}+4y+13$，则$M-N$的值(
A.为正数
B.为负数
C.为非正数
D.不能确定
B
)A.为正数
B.为负数
C.为非正数
D.不能确定
答案
5. B【解析】因为$M=8x^{2}-y^{2}+6x-2,N=9x^{2}+4y+13$,所以$M-N=8x^{2}-y^{2}+6x-2-9x^{2}-4y-13=-x^{2}-y^{2}+6x-4y-15=-x^{2}+6x-9-y^{2}-4y-4-2=-[(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+2]＜0$。
解析
【分析】
要判断M-N的值的正负性，首先需计算出M-N的表达式，再通过配方法将其转化为含完全平方的形式，利用完全平方的非负性判断整体符号。具体思路：第一步代入M、N的表达式，去括号合并同类项得到最简整式；第二步对整式进行配方，拆分为完全平方项与常数项的组合；第三步根据完全平方数的非负性，分析式子的正负情况。
【解析】
已知$M=8x^{2}-y^{2}+6x-2$，$N=9x^{2}+4y+13$，则：
$\begin{aligned}M-N&=(8x^{2}-y^{2}+6x-2)-(9x^{2}+4y+13)\\&=8x^{2}-y^{2}+6x-2-9x^{2}-4y-13\\&=-x^{2}-y^{2}+6x-4y-15\\&=-(x^{2}-6x+9)-(y^{2}+4y+4)-2\\&=-[(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+2]\end{aligned}$
因为$(x-3)^{2}≥0$，$(y+2)^{2}≥0$，所以$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+2≥2＞0$，则$-[(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+2]＜0$，即M-N的值为负数。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减运算、配方法的应用、非负数的性质
【点评】
本题考查整式加减与配方法的综合运用，核心是通过配方法将代数式转化为含非负数的形式，以此判断符号，需熟练掌握配方法步骤及完全平方数的非负性。
【难度系数】
0.5
要判断M-N的值的正负性，首先需计算出M-N的表达式，再通过配方法将其转化为含完全平方的形式，利用完全平方的非负性判断整体符号。具体思路：第一步代入M、N的表达式，去括号合并同类项得到最简整式；第二步对整式进行配方，拆分为完全平方项与常数项的组合；第三步根据完全平方数的非负性，分析式子的正负情况。
【解析】
已知$M=8x^{2}-y^{2}+6x-2$，$N=9x^{2}+4y+13$，则：
$\begin{aligned}M-N&=(8x^{2}-y^{2}+6x-2)-(9x^{2}+4y+13)\\&=8x^{2}-y^{2}+6x-2-9x^{2}-4y-13\\&=-x^{2}-y^{2}+6x-4y-15\\&=-(x^{2}-6x+9)-(y^{2}+4y+4)-2\\&=-[(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+2]\end{aligned}$
因为$(x-3)^{2}≥0$，$(y+2)^{2}≥0$，所以$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+2≥2＞0$，则$-[(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+2]＜0$，即M-N的值为负数。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减运算、配方法的应用、非负数的性质
【点评】
本题考查整式加减与配方法的综合运用，核心是通过配方法将代数式转化为含非负数的形式，以此判断符号，需熟练掌握配方法步骤及完全平方数的非负性。
【难度系数】
0.5
6. 若$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$是方程$ax-by=-3$的解，则$4a^{2}-12ab+9b^{2}$的值为 ______ 。
答案
6. 9
解析
【分析】
首先，我们要利用二元一次方程解的定义，将已知的解代入方程，得到关于a和b的关系式；接着观察所求代数式的结构，发现它可以通过完全平方公式进行因式分解，转化为含有上述关系式的形式；最后将得到的关系式整体代入分解后的式子，即可计算出结果。具体思考步骤：①代入解得到2a-3b=-3；②识别出4a²-12ab+9b²是(2a-3b)的完全平方；③代入计算(-3)²=9。
【解析】
1. 把$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$代入方程$ax-by=-3$，根据方程解的定义，等式成立，可得：
$2a - 3b = -3$
2. 对代数式$4a^{2}-12ab+9b^{2}$进行因式分解，由完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，其中$m=2a$，$n=3b$，则：
$4a^{2}-12ab+9b^{2}=(2a-3b)^2$
3. 将$2a-3b=-3$代入$(2a-3b)^2$，得：
$(2a-3b)^2=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，二元一次方程的解
【点评】
本题考查了二元一次方程解的应用、完全平方公式的因式分解以及整体代入思想的运用，解题的关键是将所求代数式转化为与已知关系式相关的形式，整体代入简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先，我们要利用二元一次方程解的定义，将已知的解代入方程，得到关于a和b的关系式；接着观察所求代数式的结构，发现它可以通过完全平方公式进行因式分解，转化为含有上述关系式的形式；最后将得到的关系式整体代入分解后的式子，即可计算出结果。具体思考步骤：①代入解得到2a-3b=-3；②识别出4a²-12ab+9b²是(2a-3b)的完全平方；③代入计算(-3)²=9。
【解析】
1. 把$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$代入方程$ax-by=-3$，根据方程解的定义，等式成立，可得：
$2a - 3b = -3$
2. 对代数式$4a^{2}-12ab+9b^{2}$进行因式分解，由完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，其中$m=2a$，$n=3b$，则：
$4a^{2}-12ab+9b^{2}=(2a-3b)^2$
3. 将$2a-3b=-3$代入$(2a-3b)^2$，得：
$(2a-3b)^2=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，二元一次方程的解
【点评】
本题考查了二元一次方程解的应用、完全平方公式的因式分解以及整体代入思想的运用，解题的关键是将所求代数式转化为与已知关系式相关的形式，整体代入简化计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 已知$a=\frac{22}{75}$，$b=\frac{25}{44}$，则$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$的值为
$\frac {2}{3}$
。答案
7. $\frac {2}{3}$
解析
【分析】
首先观察所求式子的结构，发现它符合平方差公式的形式$x^2 - y^2$，其中$x=a+b$，$y=a-b$。利用平方差公式展开可以简化计算，避免直接代入$a$、$b$进行复杂的平方运算。先通过平方差公式将原式化简为最简形式，再代入已知的$a$、$b$的值进行计算，这样步骤更简洁，不易出错。
【解析】
$\begin{aligned}&(a+b)^2 - (a-b)^2\\=&[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]\\=&(a+b+a-b)(a+b-a+b)\\=&2a × 2b\\=&4ab\end{aligned}$
将$a=\frac{22}{75}$，$b=\frac{25}{44}$代入$4ab$：
$\begin{aligned}4ab&=4×\frac{22}{75}×\frac{25}{44}\\&=4×(\frac{22×25}{75×44})\\&=4×(\frac{1×1}{3×2})\\&=4×\frac{1}{6}\\&=\frac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，通过公式化简可大幅简化计算过程，避免繁琐的分数平方运算。解题时需准确识别平方差公式的结构特征，熟练掌握公式的变形与应用，同时注意分数运算中的约分技巧，提升解题效率与准确性。
【难度系数】
0.8
首先观察所求式子的结构，发现它符合平方差公式的形式$x^2 - y^2$，其中$x=a+b$，$y=a-b$。利用平方差公式展开可以简化计算，避免直接代入$a$、$b$进行复杂的平方运算。先通过平方差公式将原式化简为最简形式，再代入已知的$a$、$b$的值进行计算，这样步骤更简洁，不易出错。
【解析】
$\begin{aligned}&(a+b)^2 - (a-b)^2\\=&[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]\\=&(a+b+a-b)(a+b-a+b)\\=&2a × 2b\\=&4ab\end{aligned}$
将$a=\frac{22}{75}$，$b=\frac{25}{44}$代入$4ab$：
$\begin{aligned}4ab&=4×\frac{22}{75}×\frac{25}{44}\\&=4×(\frac{22×25}{75×44})\\&=4×(\frac{1×1}{3×2})\\&=4×\frac{1}{6}\\&=\frac{2}{3}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，通过公式化简可大幅简化计算过程，避免繁琐的分数平方运算。解题时需准确识别平方差公式的结构特征，熟练掌握公式的变形与应用，同时注意分数运算中的约分技巧，提升解题效率与准确性。
【难度系数】
0.8
8. 阅读材料：若$m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16=0$，求$m$，$n$的值。
解：因为$m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16=0$，
所以$(m^{2}-2mn+n^{2})+(n^{2}-8n+16)=0$。
所以$(m-n)^{2}+(n-4)^{2}=0$，
所以$(m-n)^{2}=0$，$(n-4)^{2}=0$。
所以$n=4$，$m=4$。
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9=0$，求$xy$的值。
(2)已知$a-b=8$，$ab+c^{2}-16c+80=0$，求$a+b+c$的值。
解：因为$m^{2}-2mn+2n^{2}-8n+16=0$，
所以$(m^{2}-2mn+n^{2})+(n^{2}-8n+16)=0$。
所以$(m-n)^{2}+(n-4)^{2}=0$，
所以$(m-n)^{2}=0$，$(n-4)^{2}=0$。
所以$n=4$，$m=4$。
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9=0$，求$xy$的值。
(2)已知$a-b=8$，$ab+c^{2}-16c+80=0$，求$a+b+c$的值。
答案
解:(1)因为$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9=0$,所以$(x^{2}-2xy+y^{2})+(y^{2}+6y+9)=0$。所以$(x-y)^{2}+(y+3)^{2}=0$,所以$x-y=0,y+3=0$。所以$y=-3,x=-3$。所以$xy=(-3)×(-3)=9$。
(2)因为$a-b=8,ab+c^{2}-16c+80=0$,所以$a(a-8)+16+(c-8)^{2}=0$。所以$(a-4)^{2}+(c-8)^{2}=0$,所以$a-4=0,c-8=0$。所以$a=4,c=8,b=a-8=4-8=-4$。所以$a+b+c=4-4+8=8$。
(2)因为$a-b=8,ab+c^{2}-16c+80=0$,所以$a(a-8)+16+(c-8)^{2}=0$。所以$(a-4)^{2}+(c-8)^{2}=0$,所以$a-4=0,c-8=0$。所以$a=4,c=8,b=a-8=4-8=-4$。所以$a+b+c=4-4+8=8$。
解析
【分析】
本题可模仿材料中的方法，利用完全平方公式对式子进行配方，再根据平方的非负性求解未知数。
(1) 观察式子$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9=0$，可将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，把式子拆成两个完全平方式的和，即$(x^2-2xy+y^2)+(y^2+6y+9)$，这两个部分分别可化为$(x-y)^2$和$(y+3)^2$。由于平方数具有非负性，两个非负的数相加为0，则每个平方数都为0，由此可列出方程求出$x$、$y$的值，进而计算$xy$。
(2) 已知$a-b=8$，可得$a=b+8$，将其代入$ab+c^{2}-16c+80=0$中，整理式子后进行配方，转化为两个完全平方式的和为0的形式，再根据平方的非负性求出$a$、$c$的值，进而求出$b$，最后计算$a+b+c$。
【解析】
(1) 因为$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9=0$，
所以$(x^{2}-2xy+y^{2})+(y^{2}+6y+9)=0$，
所以$(x-y)^{2}+(y+3)^{2}=0$，
因为平方数具有非负性，即$(x-y)^{2}≥0$，$(y+3)^{2}≥0$，
所以$x-y=0$，$y+3=0$，
解得$y=-3$，$x=-3$，
所以$xy=(-3)×(-3)=9$。
(2) 因为$a-b=8$，所以$a=b+8$，
将$a=b+8$代入$ab+c^{2}-16c+80=0$中，得：
$(b+8)b+c^{2}-16c+80=0$，
整理得：$b^2+8b+16+c^{2}-16c+64=0$，
即$(b+4)^{2}+(c-8)^{2}=0$，
因为平方数具有非负性，即$(b+4)^{2}≥0$，$(c-8)^{2}≥0$，
所以$b+4=0$，$c-8=0$，
解得$b=-4$，$c=8$，
则$a=b+8=-4+8=4$，
所以$a+b+c=4+(-4)+8=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质，解题关键是通过拆项、配方将原式转化为几个非负数的和为0的形式，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会灵活拆分二次项和常数项进行配方。
【难度系数】
0.3
本题可模仿材料中的方法，利用完全平方公式对式子进行配方，再根据平方的非负性求解未知数。
(1) 观察式子$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9=0$，可将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，把式子拆成两个完全平方式的和，即$(x^2-2xy+y^2)+(y^2+6y+9)$，这两个部分分别可化为$(x-y)^2$和$(y+3)^2$。由于平方数具有非负性，两个非负的数相加为0，则每个平方数都为0，由此可列出方程求出$x$、$y$的值，进而计算$xy$。
(2) 已知$a-b=8$，可得$a=b+8$，将其代入$ab+c^{2}-16c+80=0$中，整理式子后进行配方，转化为两个完全平方式的和为0的形式，再根据平方的非负性求出$a$、$c$的值，进而求出$b$，最后计算$a+b+c$。
【解析】
(1) 因为$x^{2}-2xy+2y^{2}+6y+9=0$，
所以$(x^{2}-2xy+y^{2})+(y^{2}+6y+9)=0$，
所以$(x-y)^{2}+(y+3)^{2}=0$，
因为平方数具有非负性，即$(x-y)^{2}≥0$，$(y+3)^{2}≥0$，
所以$x-y=0$，$y+3=0$，
解得$y=-3$，$x=-3$，
所以$xy=(-3)×(-3)=9$。
(2) 因为$a-b=8$，所以$a=b+8$，
将$a=b+8$代入$ab+c^{2}-16c+80=0$中，得：
$(b+8)b+c^{2}-16c+80=0$，
整理得：$b^2+8b+16+c^{2}-16c+64=0$，
即$(b+4)^{2}+(c-8)^{2}=0$，
因为平方数具有非负性，即$(b+4)^{2}≥0$，$(c-8)^{2}≥0$，
所以$b+4=0$，$c-8=0$，
解得$b=-4$，$c=8$，
则$a=b+8=-4+8=4$，
所以$a+b+c=4+(-4)+8=8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质，解题关键是通过拆项、配方将原式转化为几个非负数的和为0的形式，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会灵活拆分二次项和常数项进行配方。
【难度系数】
0.3
