素养提升
8.（几何直观）在平面内，分别用 3 根、5 根、6 根同样的火柴棒首尾顺次连结，能搭成什么形状的三角形呢？
通过尝试，列表如下所示，问：
（1）4 根火柴能搭成三角形吗？

（2）8 根、12 根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图.
| 火柴数 | 3 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- |
| 示意图 | | | |
| 形状 | 等边三角形 | 等腰三角形 | 等边三角形 |

(1) 不能
(2) 8根火柴能搭成1种不同形状的三角形，12根火柴能搭成3种不同形状的三角形，示意图如下：
8根：等腰三角形 (2, 3, 3)
12根：等边三角形 (4, 4, 4)，等腰三角形 (2, 5, 5)，不等边三角形 (3, 4, 5)

(1) 假设三边火柴数目分别为a, b, c，且a ≤ b ≤ c。根据三角形三边不等式定理，三角形任意两边之和大于第三边，因此需要满足a + b ＞ c。4根火柴无法满足这个条件，因为如果三边为1, 1, 2，则1 + 1 = 2，不满足a + b ＞ c；如果三边为1, 3, 0（不符合题意），或2, 2, 0，均不成立。因此4根火柴不能搭成三角形。
(2) 对于8根火柴：
尝试边长为2, 3, 3：2 + 3 ＞ 3, 3 + 3 ＞ 2, 2 + 3 ＞ 3，满足三角形不等式，可以构成等腰三角形。
尝试边长为3, 3, 2（同上，顺序不同）。
尝试边长为4, 2, 2：4 + 2 ＞ 2, 2 + 2 ＞ 4, 不满足。
尝试边长为4, 3, 1：不满足。
因此，8根火柴只能搭成一种等腰三角形，边长为2, 3, 3或2, 2, 4（不成立），所以只有一种：3,3,2。
对于12根火柴：
尝试边长为2, 5, 5：2 + 5 ＞ 5, 5 + 5 ＞ 2, 2 + 5 ＞ 5，满足，构成等腰三角形。
尝试边长为3, 4, 5：3 + 4 ＞ 5, 4 + 5 ＞ 3, 3 + 5 ＞ 4，满足，构成不等边三角形。
尝试边长为4, 4, 4：等边三角形。
因此，12根火柴能搭成3种不同形状的三角形。