1. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于$60^{\circ}$”时，首先应假设这个三角形中()

A.每一个内角都小于$60^{\circ}$
B.每一个内角都大于$60^{\circ}$
C.有一个内角大于$60^{\circ}$
D.有一个内角小于$60^{\circ}$

A

用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设结论不成立，即假设三角形中每一个内角都小于60°。

2. 如图，$D$是$△ ABC$中$BC$边上一点，$∠ B = ∠ 1$，$∠ 3 = 80^{\circ}$，$∠ BAC = 70^{\circ}$，则$∠ 2$的大小是()

A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

C

设∠B=∠1=x，∵∠BAC=70°，∴∠2=70°-x。
∵∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠B+∠1=2x（三角形外角等于不相邻两内角和）。
已知∠3=80°，∴2x=80°，解得x=40°。
∴∠2=70°-x=70°-40°=30°。

3. 如图，$E$为$AC$上一点，连接$BE$，$CD$平分$∠ ACB$，交$BE$于点$D$，且$BE⊥ CD$，$∠ A = ∠ ABE$，$AC = 10$，$BC = 6$，则$BD$的长为。

2

∵∠A=∠ABE，∴AE=BE（等角对等边）。设AE=BE=x，则EC=AC-AE=10-x。
∵CD平分∠ACB，且CD⊥BE，∴CD既是∠ACB的平分线也是BE边上的高，∴△BCE为等腰三角形（三线合一逆定理），∴BC=CE。
∵BC=6，∴CE=6，∴AE=AC-CE=10-6=4，即BE=4。
在△BCD和△ECD中，∠BCD=∠ECD（角平分线），CD=CD（公共边），∠CDB=∠CDE=90°（垂直），∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BD=DE。
∵BE=BD+DE=2BD，∴BD=BE/2=4/2=2。

4. 已知：如图，$BD$是等边三角形$ABC$的中线，以点$D$为圆心，$DB$的长为半径画弧，交$BC$的延长线于点$E$，连接$DE$。求证：$CD = CE$。

证明：

∵BD是△ABC的中线，
∴BD⊥AC,∠1=60°
∴∠3=30°
∵BD=DE
∴∠E=∠3=30°
∵∠2+∠E=∠1=60°
∴∠E=∠2=30°
∴CD=CE

5. 提升题 如图，在等腰三角形$ABC$中，$∠ BAC = 45^{\circ}$，$AD$是底边$BC$上的高线，$CE⊥ AB$于点$E$，交$AD$于点$F$。
（1）试说明$EF = BE$；
（2）若$AF = 8$，求$BD$的长。

（1）见上述说明；（2）4。

（1）∵CE⊥AB，∴∠AEC=∠BEC=90°。
在Rt△AEC中，∠BAC=45°，∴∠ACE=45°，∴AE=CE。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=22.5°。
在△ABC中，∠ABC=∠ACB=(180°-45°)/2=67.5°。
在Rt△BEC中，∠ECB=90°-∠ABC=22.5°，∴∠EAF=∠ECB。
在△AEF和△CEB中，
∠AEF=∠CEB=90°，
AE=CE，
∠EAF=∠ECB，
∴△AEF≌△CEB（ASA），∴EF=BE。
（2）由（1）知△AEF≌△CEB，∴AF=BC。
∵AF=8，∴BC=8。
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=BC/2=4。