7. 如图，$△ ABC$为等边三角形，$E$，$D$分别为$AB$，$AC$上的点，且$BE = AD$，$CE$，$BD$相交于点$O$，求$∠ EOB$的度数。

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°。
∵BE=AD，
∴在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l} AD=BE\\ ∠A=∠CBE\\ AB=BC\end{array} $，
∴△ABD≌△BCE（SAS）。
∴∠ABD=∠BCE。
设∠ABD=∠BCE=α，
则∠OBC=∠ABC - ∠ABD=60° - α。
∵∠EOB是△BOC的外角，
∴∠EOB=∠OBC + ∠OCB=（60° - α） + α=60°。
60°

8. 已知：如图，在四边形$ADBC$中，$BC = 2BD$，$BA$平分$∠ DBC$，$AB = AC$。求证：$AD⊥ BD$。

证明：
如图在BC上取中点E，连接AE。
∵BC=2BD，E为BC中点，
∴BE=BD。
∵BA平分∠DBC，
∴∠ABD=∠ABE。
在△ABD和△ABE中，
BD=BE，∠ABD=∠ABE，BA=BA，
∴△ABD≌△ABE（SAS）。
∴∠ADB=∠AEB。
∵AB=AC，E为BC中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∴∠AEB=90°。
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD。

9. 提升题 已知：如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 45^{\circ}$，$CD⊥ AB$于点$D$，$E$为$CD$上一点，且$DE = AD$，连接$BE$并延长，交$AC$于点$F$，连接$DF$。
（1）求证：$△ BDE≌△ CDA$；
（2）若$AB = BC$，求证：$BE = 2CF$。

（1）证明：
∵CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°。
∵∠ABC=45°，在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠ABC=45°，
∴∠DBC=∠BCD，∴BD=CD。
在△BDE和△CDA中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD \\ ∠BDE=∠CDA=90° \\ DE=AD\end{array} $，
∴△BDE≌△CDA（SAS）。
（2）证明：
∵AB=BC，∠ABC=45°，∴∠BAC=∠BCA。
由（1）知△BDE≌△CDA，∴BE=AC，∠DBE=∠DCA。
∵∠BEC=∠AEF（对顶角相等），∠DBE+∠BEC=90°，
∴∠DCA+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即BF⊥AC。
∵AB=BC，BF⊥AC，∴F为AC中点（等腰三角形三线合一），
∴AC=2CF，又∵BE=AC，∴BE=2CF。