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1. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是 (
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
)A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确频率和概率的定义及两者的关系：
1. 频率是指在n次重复试验中，某一事件发生的次数m与试验总次数n的比值（即m/n），它会随着试验次数的变化而变化；
2. 概率是随机事件发生可能性大小的客观数值，是事件本身的固有属性，是确定不变的；
3. 根据频率稳定性定理，随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近。
接下来逐个分析选项：
对于A选项，频率只是概率的近似值，并不是概率本身，所以A错误；
对于B选项，频率是试验次数的比值，试验次数不同，频率可能不同，因此频率与试验次数有关，B错误；
对于C选项，概率是确定的数值，不是随机的，且频率会趋近于概率，二者有关，C错误；
对于D选项，符合频率稳定性定理的内容，是正确的。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：频率是试验中事件发生的次数与总试验次数的比值，是一个变化的数值，而概率是事件本身的固有属性，是确定值，频率不是概率，A错误；
B选项：频率的计算依赖于试验次数，试验次数改变，频率可能随之改变，因此频率与试验次数有关，B错误；
C选项：概率是确定的，并非随机的，且随着试验次数增加，频率会逐渐接近概率，二者存在关联，C错误；
D选项：根据频率稳定性定理，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系
【点评】
本题主要考查频率和概率的基本概念及两者的区别与联系，解题的关键是准确理解频率的随机性和概率的确定性，以及频率稳定性定理的内容，属于基础概念题，需熟练掌握相关定义。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确频率和概率的定义及两者的关系：
1. 频率是指在n次重复试验中，某一事件发生的次数m与试验总次数n的比值（即m/n），它会随着试验次数的变化而变化；
2. 概率是随机事件发生可能性大小的客观数值，是事件本身的固有属性，是确定不变的；
3. 根据频率稳定性定理，随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近。
接下来逐个分析选项：
对于A选项，频率只是概率的近似值，并不是概率本身，所以A错误；
对于B选项，频率是试验次数的比值，试验次数不同，频率可能不同，因此频率与试验次数有关，B错误；
对于C选项，概率是确定的数值，不是随机的，且频率会趋近于概率，二者有关，C错误；
对于D选项，符合频率稳定性定理的内容，是正确的。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：频率是试验中事件发生的次数与总试验次数的比值，是一个变化的数值，而概率是事件本身的固有属性，是确定值，频率不是概率，A错误；
B选项：频率的计算依赖于试验次数，试验次数改变，频率可能随之改变，因此频率与试验次数有关，B错误；
C选项：概率是确定的，并非随机的，且随着试验次数增加，频率会逐渐接近概率，二者存在关联，C错误；
D选项：根据频率稳定性定理，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系
【点评】
本题主要考查频率和概率的基本概念及两者的区别与联系，解题的关键是准确理解频率的随机性和概率的确定性，以及频率稳定性定理的内容，属于基础概念题，需熟练掌握相关定义。
【难度系数】
0.8
2. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.下面有三个推断：①某次实验投掷次数是 500，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，则该次试验“钉尖向上”的频率是 0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1 000 时，“钉尖向上”的概率一定是 0.620.其中合理的是(
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
A
)A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
2. A
解析
【分析】
要判断三个推断是否合理，需结合频率的计算方法和频率估计概率的知识点来分析：
1. 对于推断①，根据频率的定义，频率=“钉尖向上”的次数÷投掷总次数，代入数值计算即可验证；
2. 对于推断②，根据频率的稳定性定理，当实验次数足够多时，频率会稳定在某个数值附近，这个数值可以作为概率的估计值，结合图像趋势判断；
3. 对于推断③，明确概率是一个稳定的估计值，不是某次实验的频率，每次实验的频率会围绕概率波动，但不一定等于某个特定数值，据此判断。
【解析】
1. 验证推断①：
已知投掷次数是500，“钉尖向上”的次数是308，根据频率计算公式：
频率 = 频数÷试验次数 = $ \frac{308}{500} = 0.616 $，故①合理；
2. 验证推断②：
由图像可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率在0.618附近摆动，呈现出稳定性，根据频率估计概率的原理，可估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②合理；
3. 验证推断③：
概率是频率稳定后的估计值，是一个固定的理论值，不是某次实验的频率。再次模拟实验时，投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能接近0.618，但不一定是0.620，且概率不会改变，故③不合理。
综上，合理的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
频率的计算、频率估计概率
【点评】
本题考查频率与概率的区别与联系，需明确：频率是某次实验的结果，会随实验次数变化而波动；概率是频率稳定后的估计值，是一个固定的理论值，可通过大量重复实验的频率来估计概率。
【难度系数】
0.8
要判断三个推断是否合理，需结合频率的计算方法和频率估计概率的知识点来分析：
1. 对于推断①，根据频率的定义，频率=“钉尖向上”的次数÷投掷总次数，代入数值计算即可验证；
2. 对于推断②，根据频率的稳定性定理，当实验次数足够多时，频率会稳定在某个数值附近，这个数值可以作为概率的估计值，结合图像趋势判断；
3. 对于推断③，明确概率是一个稳定的估计值，不是某次实验的频率，每次实验的频率会围绕概率波动，但不一定等于某个特定数值，据此判断。
【解析】
1. 验证推断①：
已知投掷次数是500，“钉尖向上”的次数是308，根据频率计算公式：
频率 = 频数÷试验次数 = $ \frac{308}{500} = 0.616 $，故①合理；
2. 验证推断②：
由图像可知，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率在0.618附近摆动，呈现出稳定性，根据频率估计概率的原理，可估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②合理；
3. 验证推断③：
概率是频率稳定后的估计值，是一个固定的理论值，不是某次实验的频率。再次模拟实验时，投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能接近0.618，但不一定是0.620，且概率不会改变，故③不合理。
综上，合理的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
频率的计算、频率估计概率
【点评】
本题考查频率与概率的区别与联系，需明确：频率是某次实验的结果，会随实验次数变化而波动；概率是频率稳定后的估计值，是一个固定的理论值，可通过大量重复实验的频率来估计概率。
【难度系数】
0.8
3. 六一儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据.下列说法不正确的是(
A.当 $ n $ 很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是 0.70
B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是 0.70
C.如果转动转盘 2 000 次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有 600 次
D.转动转盘 10 次，一定有 3 次获得文具盒
D
)A.当 $ n $ 很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是 0.70
B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是 0.70
C.如果转动转盘 2 000 次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有 600 次
D.转动转盘 10 次，一定有 3 次获得文具盒
答案
3. D
解析
【分析】
首先要明确频率与概率的关系：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在该事件的概率附近，同时随机事件的结果具有不确定性，不能用概率直接确定少量试验的必然结果。接下来逐个分析选项：
1. 对于选项A，观察统计数据可知，随着转动次数增加，指针落在“铅笔”区域的频率逐渐稳定在0.70左右，因此当n很大时，可估计该频率约为0.70。
2. 选项B，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多，频率趋近于概率，所以转动一次获得铅笔的概率大约是0.70。
3. 选项C，先算出落在“文具盒”区域的概率约为$1-0.70=0.30$，转动2000次时，次数大约为$2000×0.30=600$次。
4. 选项D，概率是对大量试验的统计规律，少量试验的结果是随机的，转动10次不一定有3次获得文具盒。
【解析】
选项A：由统计数据可知，随着转动次数n增大，指针落在“铅笔”区域的频率逐渐稳定在0.70附近，故当n很大时，估计频率大约是0.70，该选项正确。
选项B：根据频率估计概率的方法，当试验次数足够多时，频率趋近于概率，因此转动转盘一次获得铅笔的概率大约是0.70，该选项正确。
选项C：已知铅笔区域的概率约为0.70，则文具盒区域的概率约为$1 - 0.70 = 0.30$，转动转盘2000次时，落在“文具盒”区域的次数大约为$2000×0.30 = 600$次，该选项正确。
选项D：概率反映的是事件发生的可能性大小，不是必然结果。转动转盘10次属于少量试验，获得文具盒的次数是随机的，不一定为3次，该选项错误。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率、随机事件
【点评】
本题重点考查频率与概率的关系及随机事件的特性，需区分频率（试验结果）和概率（理论可能性）的区别，明白大量重复试验时频率趋近于概率，但少量试验结果具有随机性，不能用概率直接确定必然结果。
【难度系数】
0.6
首先要明确频率与概率的关系：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在该事件的概率附近，同时随机事件的结果具有不确定性，不能用概率直接确定少量试验的必然结果。接下来逐个分析选项：
1. 对于选项A，观察统计数据可知，随着转动次数增加，指针落在“铅笔”区域的频率逐渐稳定在0.70左右，因此当n很大时，可估计该频率约为0.70。
2. 选项B，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多，频率趋近于概率，所以转动一次获得铅笔的概率大约是0.70。
3. 选项C，先算出落在“文具盒”区域的概率约为$1-0.70=0.30$，转动2000次时，次数大约为$2000×0.30=600$次。
4. 选项D，概率是对大量试验的统计规律，少量试验的结果是随机的，转动10次不一定有3次获得文具盒。
【解析】
选项A：由统计数据可知，随着转动次数n增大，指针落在“铅笔”区域的频率逐渐稳定在0.70附近，故当n很大时，估计频率大约是0.70，该选项正确。
选项B：根据频率估计概率的方法，当试验次数足够多时，频率趋近于概率，因此转动转盘一次获得铅笔的概率大约是0.70，该选项正确。
选项C：已知铅笔区域的概率约为0.70，则文具盒区域的概率约为$1 - 0.70 = 0.30$，转动转盘2000次时，落在“文具盒”区域的次数大约为$2000×0.30 = 600$次，该选项正确。
选项D：概率反映的是事件发生的可能性大小，不是必然结果。转动转盘10次属于少量试验，获得文具盒的次数是随机的，不一定为3次，该选项错误。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率、随机事件
【点评】
本题重点考查频率与概率的关系及随机事件的特性，需区分频率（试验结果）和概率（理论可能性）的区别，明白大量重复试验时频率趋近于概率，但少量试验结果具有随机性，不能用概率直接确定必然结果。
【难度系数】
0.6
4. 做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1 000 次.经过统计得“凸面向上”的频率约为 0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为
0.56
.答案
4. 0.56
解析
【分析】
首先，抛掷啤酒瓶盖只会出现两种互斥的结果：“凸面向上”和“凹面向上”，这两个事件是对立事件，它们的概率之和为1。题目中给出“凸面向上”的频率约为0.44，根据大量重复实验中频率可以估计概率的原理，我们可以认为“凸面向上”的概率约为0.44，那么只需要用1减去“凸面向上”的概率，就能得到“凹面向上”的概率。
【解析】
因为抛掷啤酒瓶盖时，“凸面向上”与“凹面向上”是对立事件，二者概率之和为1。
已知“凸面向上”的频率约为0.44，由频率估计概率可知，“凸面向上”的概率约为0.44。
所以“凹面向上”的概率约为：$1 - 0.44 = 0.56$。
【答案】
0.56
【知识点】
对立事件概率、频率估计概率
【点评】
本题主要考查对立事件的概率关系以及利用频率估计概率的思想，解题关键是明确对立事件概率之和为1，属于基础题型，容易掌握。
【难度系数】
0.8
首先，抛掷啤酒瓶盖只会出现两种互斥的结果：“凸面向上”和“凹面向上”，这两个事件是对立事件，它们的概率之和为1。题目中给出“凸面向上”的频率约为0.44，根据大量重复实验中频率可以估计概率的原理，我们可以认为“凸面向上”的概率约为0.44，那么只需要用1减去“凸面向上”的概率，就能得到“凹面向上”的概率。
【解析】
因为抛掷啤酒瓶盖时，“凸面向上”与“凹面向上”是对立事件，二者概率之和为1。
已知“凸面向上”的频率约为0.44，由频率估计概率可知，“凸面向上”的概率约为0.44。
所以“凹面向上”的概率约为：$1 - 0.44 = 0.56$。
【答案】
0.56
【知识点】
对立事件概率、频率估计概率
【点评】
本题主要考查对立事件的概率关系以及利用频率估计概率的思想，解题关键是明确对立事件概率之和为1，属于基础题型，容易掌握。
【难度系数】
0.8
5. 一个不透明的布袋中，装有红、黄、白小球共 80 个，这些小球材质、大小完全相同.小丽做摸球实验，摸到白球的频率稳定在 20％左右，则口袋中红、黄小球大约共有
64
个.答案
5. 64
解析
【分析】
首先，根据频率稳定性定理，当实验次数足够多时，频率可近似看作概率。题目中摸到白球的频率稳定在20%左右，因此可估计摸到白球的概率为20%。接下来，先计算出白球的数量，再用球的总数减去白球数量，就能得到红、黄小球的总数。
【解析】
1. 由摸到白球的频率稳定在20%左右，可得摸到白球的概率约为$20\% = 0.2$。
2. 计算白球数量：总球数为80个，白球数量为$80×0.2 = 16$（个）。
3. 计算红、黄小球总数：$80 - 16 = 64$（个）。
【答案】
64
【知识点】
用频率估计概率、概率的简单应用
【点评】
本题考查频率与概率的关系，利用频率稳定值估计事件发生的概率，进而结合总数计算特定类别物体的数量，属于基础题型，理解频率与概率的联系即可解决。
【难度系数】
0.8
首先，根据频率稳定性定理，当实验次数足够多时，频率可近似看作概率。题目中摸到白球的频率稳定在20%左右，因此可估计摸到白球的概率为20%。接下来，先计算出白球的数量，再用球的总数减去白球数量，就能得到红、黄小球的总数。
【解析】
1. 由摸到白球的频率稳定在20%左右，可得摸到白球的概率约为$20\% = 0.2$。
2. 计算白球数量：总球数为80个，白球数量为$80×0.2 = 16$（个）。
3. 计算红、黄小球总数：$80 - 16 = 64$（个）。
【答案】
64
【知识点】
用频率估计概率、概率的简单应用
【点评】
本题考查频率与概率的关系，利用频率稳定值估计事件发生的概率，进而结合总数计算特定类别物体的数量，属于基础题型，理解频率与概率的联系即可解决。
【难度系数】
0.8
6. 小颖有 20 张大小相同的卡片，上面写有 1～20 这 20 个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如下：
（1）完成上表.
（2）频率随着实验次数的增加，稳定在什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率估计是多少？
（1）完成上表.
（2）频率随着实验次数的增加，稳定在什么值左右？
（3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是 3 的倍数的概率估计是多少？
答案
6.(1)填表如下：
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3的倍数的频数 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61
3的倍数的频率 0.25 0.3250 0.2830 0.325 0.32 0.3 0.2790 0.3060 0.3060 0.305
(2)随着实验次数的增加，频率稳定于0.3左右
(3)0.3
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3的倍数的频数 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61
3的倍数的频率 0.25 0.3250 0.2830 0.325 0.32 0.3 0.2790 0.3060 0.3060 0.305
(2)随着实验次数的增加，频率稳定于0.3左右
(3)0.3
解析
【分析】
1. 第(1)问：明确频率的计算公式为“频率=频数÷试验次数”，只需用每组的“3的倍数的频数”除以对应的“试验次数”，即可算出对应频率。
2. 第(2)问：观察计算得到的频率数据，随着试验次数增加，分析频率的变化趋势，找到其趋近的稳定数值。
3. 第(3)问：依据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率稳定的数值可作为该事件发生的概率估计值。
【解析】
(1) 根据频率公式$\mathrm{频率}=\frac{\mathrm{频数}}{\mathrm{试验次数}}$，逐个计算：
$5÷20=0.25$
$13÷40=0.3250$
$17÷60\approx0.2830$
$26÷80=0.325$
$32÷100=0.32$
$36÷120=0.3$
$39÷140\approx0.2790$
$49÷160\approx0.3060$
$55÷180\approx0.3060$
$61÷200=0.305$
将上述结果填入表格对应位置。
(2) 观察计算出的频率数据，随着试验次数从20增加到200，频率逐渐在0.3附近波动，且越来越接近0.3，因此频率稳定在0.3左右。
(3) 根据频率估计概率的方法，当试验次数足够多时，频率稳定的数值就是概率的估计值，所以从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是0.3。
【答案】
(1) 3的倍数的频率依次为：0.25、0.3250、0.2830、0.325、0.32、0.3、0.2790、0.3060、0.3060、0.305
(2) 稳定在0.3左右
(3) 0.3
【知识点】
1. 频率的计算
2. 频率估计概率
【点评】
本题围绕频率与概率的关系展开，通过试验数据计算频率，让学生理解频率随试验次数增加逐渐稳定的特点，掌握用稳定频率估计概率的思想，同时巩固频率的基本计算方法。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：明确频率的计算公式为“频率=频数÷试验次数”，只需用每组的“3的倍数的频数”除以对应的“试验次数”，即可算出对应频率。
2. 第(2)问：观察计算得到的频率数据，随着试验次数增加，分析频率的变化趋势，找到其趋近的稳定数值。
3. 第(3)问：依据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率稳定的数值可作为该事件发生的概率估计值。
【解析】
(1) 根据频率公式$\mathrm{频率}=\frac{\mathrm{频数}}{\mathrm{试验次数}}$，逐个计算：
$5÷20=0.25$
$13÷40=0.3250$
$17÷60\approx0.2830$
$26÷80=0.325$
$32÷100=0.32$
$36÷120=0.3$
$39÷140\approx0.2790$
$49÷160\approx0.3060$
$55÷180\approx0.3060$
$61÷200=0.305$
将上述结果填入表格对应位置。
(2) 观察计算出的频率数据，随着试验次数从20增加到200，频率逐渐在0.3附近波动，且越来越接近0.3，因此频率稳定在0.3左右。
(3) 根据频率估计概率的方法，当试验次数足够多时，频率稳定的数值就是概率的估计值，所以从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是0.3。
【答案】
(1) 3的倍数的频率依次为：0.25、0.3250、0.2830、0.325、0.32、0.3、0.2790、0.3060、0.3060、0.305
(2) 稳定在0.3左右
(3) 0.3
【知识点】
1. 频率的计算
2. 频率估计概率
【点评】
本题围绕频率与概率的关系展开，通过试验数据计算频率，让学生理解频率随试验次数增加逐渐稳定的特点，掌握用稳定频率估计概率的思想，同时巩固频率的基本计算方法。
【难度系数】
0.7
