7. 在矩形$ABCD$中，$AD = 5$，$AB = 4$，点$E$、$F$在直线$AD$上，且四边形$BCFE$为菱形. 若线段$EF$的中点为$M$，则线段$AM$的长为_______.

$\frac{11}{2}$或 $\frac{1}{2}$

8. （2024·宿迁）如图，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，且$AD = DC=\frac{1}{2}BC$，$E$是$BC$的中点. 甲认为若连接$AE$，则四边形$ADCE$是菱形；乙认为若连接$AC$，则$\triangle ABC$是直角三角形. 请选择一名同学的想法给予证明.
　　

选择不唯一，如选择甲 如图，连接 AE. ∵ E 是 BC 的中点，∴ CE = BE = $\frac{1}{2}BC$. ∵ AD = $\frac{1}{2}BC$，∴ AD = CE. ∵ AD//BC，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. ∵ AD = DC，∴ 四边形 ADCE 是菱形

9. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$、$F$分别是$AB$、$BC$的中点，$CE$、$DF$交于点$G$，连接$AG$. 有下列结论：①$CE = DF$；②$CE\perp DF$；③$\angle AGE=\angle CDF$. 其中，正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
　　　　　　　　　　　　　 　　　　　

D

10. 如图，菱形$ABCD$的面积为$120\ cm^{2}$，正方形$AECF$的面积为$50\ cm^{2}$，则菱形的边长为________$cm$.

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11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形$OABC$是边长为$4$的正方形，$P$为边$OA$上任意一点（不与点$O$、$A$重合），连接$CP$，过点$P$作$PM\perp CP$交$AB$于点$D$，且$PM = CP$，过点$M$作$MN// OA$，交$BO$于点$N$，连接$ND$、$BM$，设$OP = t$.
（1）求点$M$的坐标（用含$t$的代数式表示）；
（2）试判断线段$MN$的长度是否随点$P$的位置的变化而改变，并说明理由.
　　　　

(1) 如图，过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，则 ∠PEM = 90°. ∴ ∠1 + ∠2 = 90°. ∵ PM⊥CP，∴ ∠CPM = 90°. ∴ ∠1 + ∠3 = 90°. ∴ ∠2 = ∠3. ∵ 四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，∴ OC = 4，∠COP = 90°. ∴ ∠PEM = ∠COP. 又 ∵ PM = CP，∴ △MPE≌△PCO. ∴ EM = OP = t，EP = OC = 4. ∴ OE = t + 4. ∴ 点 M 的坐标为(t + 4，t) (2) 线段 MN 的长度不发生改变 理由：如图，连接 AM，设 MN 交 AB 于点 F. ∵ 四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，∴ ∠BAO = 90°，OA = OC = AB = 4，即 AB⊥x 轴. ∴ ∠BOA = 45°. ∵ ME⊥x 轴，∴ ME//AB. ∵ MN//OA，∴ 四边形 AEMF 为平行四边形. 又 ∵ ∠MEA = 90°，∴ 四边形 AEMF 是矩形. 由(1)，得 OP = EM，OC = EP，∴ OA = EP. ∴ OA - PA = EP - PA，即 OP = AE. ∴ EM = AE. ∴ 矩形 AEMF 是正方形，∠MAE = 45°. ∴ ∠MAE = ∠BOA. ∴ AM//OB. 又 ∵ MN//OA，∴ 四边形 OAMN 是平行四边形. ∴ MN = OA = 4，即线段 MN 的长度不发生改变.