17. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠B=90^{\circ },AB=8,∠CAB$的平分线 AD 交 BC 于点 D,且$AD=\frac {16\sqrt {3}}{3}$.求$∠C$的度数及边 BC、AC 的长度(保留根号).
(第 17 题)
(第 17 题)
答案
解：在Rt△ABD中，∵AB=8，$AD=\frac {16\sqrt 3}3$
∴$cos∠DAB=\frac {AB}{AD}=\frac 8{\frac {16\sqrt 3}3}=\frac {\sqrt 3}2$
∴∠DAB=30°
∴AD平分∠CAB
∴∠CAB=2∠DAB=60°
∴∠C=30°
在Rt△ABC中，∵AB=8，∠C=30°
∴$BC=\sqrt 3AB=8\sqrt 3，$AC=2AB=16
∴$cos∠DAB=\frac {AB}{AD}=\frac 8{\frac {16\sqrt 3}3}=\frac {\sqrt 3}2$
∴∠DAB=30°
∴AD平分∠CAB
∴∠CAB=2∠DAB=60°
∴∠C=30°
在Rt△ABC中，∵AB=8，∠C=30°
∴$BC=\sqrt 3AB=8\sqrt 3，$AC=2AB=16
18. 在$△ABC$中,$∠B=45^{\circ },cosA=0.8$.
(1)试通过查找下表,推断出$△ABC$的形状;
(2)$△ABC$的边 AC 上的高$BD=3$,求 BC 的长.
(1)试通过查找下表,推断出$△ABC$的形状;
(2)$△ABC$的边 AC 上的高$BD=3$,求 BC 的长.
答案
解：(1)∵cos 36°50'=0.8004，cos 37°=0.7986，cos A=0.8
∴$36°50'\lt ∠A\lt 37°，$$98°\lt ∠ C\lt 98°10'$
∴△ABC是钝角三角形
(2) 如图，BD是边AC上的高，BD⊥AC，BD=3，过点C作CE⊥AB，垂足为E
在Rt △ABD中，$cos A=\frac {AD}{AB}=\frac {4}{5}$
设AD=4k，AB=5k
∴$3^2+(4k)^2=(5k)^2，$k=1
∴AB=5，AD=4
在Rt△ACE中，$cosA=\frac {AE}{AC}=\frac {4}{5}$
设AE=4a，AC=5a
∴$CE=\sqrt{(5a)^2-(4a)^2}=3a$
又∵∠CBE=45°，∠BEC=90°
∴BE=CE=3a
∵BE+AE=AB
∴3a+4a=5
∴$a=\frac {5}{7}$
∴$BE=CE=\frac {15}{7}$
∴$BC=\frac {BE}{cos_{45}°}=\frac {15}{7} × \frac {2}{\sqrt 2}=\frac {15\sqrt{2}}{7}$
