4. （2024·湖北）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为G，PG交BC于点H.
（1）如图①，求证：△DEP∽△CPH；
（2）如图②，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
（3）如图③，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由.

（1）见解析；（2）3/4；（3）BG=(√5/2)AB．

（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°．
由折叠得∠P=∠A=90°，∴∠DPE+∠CPH=90°．
在Rt△DEP中，∠DPE+∠DEP=90°，∴∠DEP=∠CPH．
∵∠D=∠C=90°，∴△DEP∽△CPH．
（2）解：
∵P为CD中点，AB=2，∴CD=2，CP=PD=1．设AE=EP=x，则DE=3-x．
在Rt△DEP中，(3-x)²+1²=x²，解得x=5/3，∴DE=4/3．
由（1）△DEP∽△CPH，得DE/CP=DP/CH，即(4/3)/1=1/CH，∴CH=3/4．
设BF=FG=y，则FC=3-y．∵∠G=∠C=90°，∠GHF=∠CHP，∴△GHF∽△CHP．
∴FG/CP=FH/CH，即y/1=(3-y-3/4)/(3/4)，解得y=9/16．
∵△GHF∽△CHP，相似比=FG/CP=9/16，CH=3/4，∴GH=CH×9/16=3/4×9/16=27/64？（修正）
（正确）∵△GHF∽△CHP，∴GH/CP=FG/CH，即GH/1=(9/16)/(3/4)=3/4，∴GH=3/4．
（3）解：BG=(√5/2)AB．
理由：设AB=2a，BC=2b，CP=PD=a，BH=HC=b．
由△DEP∽△CPH得(2b-m)/a=a/b（m=AE），解得m=(2b²-a²)/b．
在Rt△DEP中，(2b-m)²+a²=m²，代入得4b²-4bm+a²=0，解得b=(√5/2)a．
设BF=FG=n，△GHF∽△CHP得n/a=FH/b，FH=nb/a．
∵BH=FH+BF，∴b=nb/a+n，n=ab/(a+b)．
过G作GM⊥BC，GM=nb/√(a²+b²)，BM=n(1+a/√(a²+b²))，
BG=√(GM²+BM²)=√5a=(√5/2)AB．