登录
1. 如图，已知△ABC 的面积为 3，且 AB = AC，现将△ABC 沿 CA 方向平移 CA 的长度得到△EFA. 连接 BF，BE.
(1)求四边形 CEFB 的面积；
(2)试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由.
(1)求四边形 CEFB 的面积；
(2)试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由.
答案
解:(1)
∵△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA，
∴△ACB≌△EFA，BF=AC，BF//AC，
∴四边形AFBC为平行四边形，
∴S△ACB=S△AFB，
∴四边形CEFB的面积=3S△ACB=3×3=9.
(2)AF与BE互相垂直平分.理由如下：
∵△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA，
∴AB=EF，BF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AB=AE=EF=BF，
∴四边形AEFB为菱形，
∴AF与BE互相垂直平分.
∵△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA，
∴△ACB≌△EFA，BF=AC，BF//AC，
∴四边形AFBC为平行四边形，
∴S△ACB=S△AFB，
∴四边形CEFB的面积=3S△ACB=3×3=9.
(2)AF与BE互相垂直平分.理由如下：
∵△ABC沿CA方向平移CA的长度得到△EFA，
∴AB=EF，BF=AC=AE，
∵AB=AC，
∴AB=AE=EF=BF，
∴四边形AEFB为菱形，
∴AF与BE互相垂直平分.
2. 如图，在正方形网格中有一个格点三角形 ABC(即△ABC 的各顶点都在格点上)，按要求进行下列作图.
(1)画出△ABC 中 AB 边上的高 CD.
(2)画出将△ABC 先向左平移 2 格，再向上平移 3 格后的△A'B'C'.
(3)过点 C 画一条直线将△ABC 分成两个面积相等的三角形.
(1)画出△ABC 中 AB 边上的高 CD.
(2)画出将△ABC 先向左平移 2 格，再向上平移 3 格后的△A'B'C'.
(3)过点 C 画一条直线将△ABC 分成两个面积相等的三角形.
答案
解:(1)如图，CD即为所求.
(2)如图，△A'B'C'即为所求.
(3)如图，直线CE即为所求.
3. 如图，点 O 是等边三角形 ABC 内一点，∠BOC = α. 将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得到△ADC，连接 OD.
(1)求证：△COD 是等边三角形.
(2)当 α = 150°，OB = 3，OC = 4 时，试求 OA 的长.
(1)求证：△COD 是等边三角形.
(2)当 α = 150°，OB = 3，OC = 4 时，试求 OA 的长.
答案
(1)证明:
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形.
(2)解:
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=3.
又
∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，OD=OC=4，
∴∠ADO=∠ADC - ∠ODC=90°，
∴OA=√(AD²+OD²)=5.
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形.
(2)解:
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=3.
又
∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，OD=OC=4，
∴∠ADO=∠ADC - ∠ODC=90°，
∴OA=√(AD²+OD²)=5.
4. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，且∠EAF = 45°，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，连接 EQ，求证：
(1)EA 是∠QED 的平分线；
(2)EF² = BE² + DF².
(1)EA 是∠QED 的平分线；
(2)EF² = BE² + DF².
答案
证明:(1)
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF.
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠QAE=45°，
∴∠QAE=∠FAE，
∵AE为公共边，
∴△AQE≌△AFE(SAS)，
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分线.
(2)由(1)得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，QB²+BE²=QE²，
又
∵QB=DF，
∴EF²=BE²+DF².
