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11. 如图①，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，$BC$与地面的夹角为$50°$，$∠C = 25°$，小贤同学将它扶起平放在地面上(如图②)，则灰斗柄$AB$绕点$C$转动的角度为
$105°$
。答案
11. $105°$
12. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 3$，$AC = 2$，$∠BAC = 30°$，将$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$△ AB_1C_1$，连接$BC_1$，则$BC_1$的长为(
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.$4$
D.$6$
B
)A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.$4$
D.$6$
答案
12. B
13. 如图，$△ ABC$是等腰直角三角形，$BC$是斜边，$P$为$△ ABC$内一点，将$△ ABP$绕点$A$逆时针旋转一定角度后，与$△ ACP'$重合，如果$AP = 4$，那么$P$，$P'$两点间的距离为(
A.$4$
B.$4\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8$
B
)A.$4$
B.$4\sqrt{2}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8$
答案
13. B
14. 如图，在$△ ABC$中，$AB = 4$，将$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转$30°$后得到$△ A_1BC_1$，则阴影部分的面积为
4
。答案
14. 4
15. 如图，已知一个四边形$ABCD$，将其绕点$A$按逆时针方向旋转$50°$，请画出旋转后的四边形$AB'C'D'$。
答案
15. 解:如图.
以点 A 为圆心,分别以 AB,AC,AD 的长为半径画 $50°$的圆弧,得到点 $B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$,连接 $AB^{\prime}, B^{\prime}C^{\prime}, C^{\prime}D^{\prime}, D^{\prime}A$,则四边形 $AB^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$就是四边形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 $50°$得到的图形.
16. 如图，将$Rt△ ABC$绕直角顶点$B$逆时针旋转$90°$得到$△ DBE$，$DE$的延长线恰好经过$AC$的中点$F$，连接$AD$，$CE$。
（1）求证：$AE = CE$。
（2）若$BC = \sqrt{2}$，求$AB$的长。
（1）求证：$AE = CE$。
（2）若$BC = \sqrt{2}$，求$AB$的长。
答案
16. (1)证明:
∵将 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 绕直角顶点 B 逆时针旋转 $90°$得到 $ △ DBE $,$ \therefore △ ABC ≌ △ DBE $,$ \therefore ∠ BAC=∠ CDF $.
$ \because ∠ BAC+∠ ACB=90° $,$ \therefore ∠ CDF+∠ ACB=90° $,$ \therefore DF ⊥ AC $,
∵点 F 是 AC 的中点,
∴DF 垂直平分 AC,$ \therefore AE=CE $.
(2)解:
∵$ △ ABC ≌ △ DBE $,
$ \therefore BC=BE=\sqrt{2} $,
$ \therefore CE=AE=2 $,$ \therefore AB=AE+BE=2+\sqrt{2} $.
∵将 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 绕直角顶点 B 逆时针旋转 $90°$得到 $ △ DBE $,$ \therefore △ ABC ≌ △ DBE $,$ \therefore ∠ BAC=∠ CDF $.
$ \because ∠ BAC+∠ ACB=90° $,$ \therefore ∠ CDF+∠ ACB=90° $,$ \therefore DF ⊥ AC $,
∵点 F 是 AC 的中点,
∴DF 垂直平分 AC,$ \therefore AE=CE $.
(2)解:
∵$ △ ABC ≌ △ DBE $,
$ \therefore BC=BE=\sqrt{2} $,
$ \therefore CE=AE=2 $,$ \therefore AB=AE+BE=2+\sqrt{2} $.
17. 在$△ ABC$中，$∠ACB = 90°$，$AC = BC$，直线$MN$过点$C$，且$AD⊥MN$于$D$，$BE⊥MN$于$E$。
（1）当直线$MN$绕点$C$旋转到图①的位置时，求证：$DE = AD + BE$。
（2）当直线$MN$绕点$C$旋转到图②的位置时，求证：$DE = AD - BE$。
（1）当直线$MN$绕点$C$旋转到图①的位置时，求证：$DE = AD + BE$。
（2）当直线$MN$绕点$C$旋转到图②的位置时，求证：$DE = AD - BE$。
答案
17. 证明:(1)如题图①,
∵$ ∠ ACB=90° $,
$ \therefore ∠ ACD+∠ BCE=90° $.
∵$ AD ⊥ MN $于 D,$ BE ⊥ MN $于点 E,
$ \therefore ∠ ADC=∠ CEB=90° $,
$ \therefore ∠ BCE+∠ CBE=90° $,
$ \therefore ∠ ACD=∠ CBE $.
∵$ AC=BC $,$ \therefore △ ADC ≌ △ CEB(AAS) $,
$ \therefore AD=CE, DC=BE $,$ \therefore DE=DC+CE=BE+AD $.
(2)如题图②,易得$ ∠ ACD=∠ CBE $,
又$ ∠ ADC=∠ CEB, AC=BC $,
$ \therefore △ ADC ≌ △ CEB(AAS) $,$ \therefore AD=CE $,$ DC=BE $,
$ \therefore DE=CE - CD=AD - BE $.
∵$ ∠ ACB=90° $,
$ \therefore ∠ ACD+∠ BCE=90° $.
∵$ AD ⊥ MN $于 D,$ BE ⊥ MN $于点 E,
$ \therefore ∠ ADC=∠ CEB=90° $,
$ \therefore ∠ BCE+∠ CBE=90° $,
$ \therefore ∠ ACD=∠ CBE $.
∵$ AC=BC $,$ \therefore △ ADC ≌ △ CEB(AAS) $,
$ \therefore AD=CE, DC=BE $,$ \therefore DE=DC+CE=BE+AD $.
(2)如题图②,易得$ ∠ ACD=∠ CBE $,
又$ ∠ ADC=∠ CEB, AC=BC $,
$ \therefore △ ADC ≌ △ CEB(AAS) $,$ \therefore AD=CE $,$ DC=BE $,
$ \therefore DE=CE - CD=AD - BE $.
