3. 如图，已知四边形 $ ABCD $ 为正方形，$ AB = 3\sqrt{2} $，$ E $ 为对角线 $ AC $ 上一动点，连接 $ DE $。过点 $ E $ 作 $ EF ⊥ DE $，交 $ BC $ 于点 $ F $，以 $ DE $，$ EF $ 为邻边作矩形 $ DEFG $，连接 $ CG $。
(1)求证矩形 $ DEFG $ 是正方形。
(2)$ CE + CG $ 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

(1) 证明：
过点E作$EM ⊥ BC$于$M$，$EN ⊥ CD$于$N$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AC$平分$∠ BCD$，$∠ BCD=90°$，
∴$EM=EN$，$∠ EMF=∠ END=90°$，
∴四边形$EMCN$是正方形，$∠ MEN=90°$。
∵$EF ⊥ DE$，
∴$∠ DEF=90°$，
∴$∠ DEN + ∠ NEF = ∠ MEF + ∠ NEF = 90°$，
∴$∠ DEN=∠ MEF$。
在$△ DEN$和$△ FEM$中，
$\begin{cases}∠ END=∠ EMF \\EN=EM \\∠ DEN=∠ MEF\end{cases}$
∴$△ DEN ≌ △ FEM$（ASA），
∴$DE=EF$。
∵四边形$DEFG$是矩形，且$DE=EF$，
∴矩形$DEFG$是正方形。
(2) 解：
$CE+CG$的值是定值，定值为6。
证明如下：
∵四边形$ABCD$和四边形$DEFG$都是正方形，
∴$AD=CD$，$DE=DG$，$∠ ADC=∠ EDG=90°$，
∴$∠ ADC - ∠ EDC = ∠ EDG - ∠ EDC$，
即$∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中，
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDG \\DE=DG\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ CDG$（SAS），
∴$AE=CG$。
∵在正方形$ABCD$中，$AB=3\sqrt{2}$，
∴$AC=\sqrt{2} · AB=\sqrt{2} × 3\sqrt{2}=6$，
∴$CE+CG=CE+AE=AC=6$。
答：$CE+CG$的值为定值6。

4. 如图，$ P $ 是正方形 $ ABCD $ 边 $ BC $ 上一个动点，线段 $ AE $ 与 $ AD $ 关于直线 $ AP $ 对称，连接 $ EB $ 并延长交直线 $ AP $ 于点 $ F $，连接 $ CF $。
(1)如图①，已知 $ ∠ BAP = 30° $。①求 $ ∠ AFE $ 的大小；②求证 $ BC = \sqrt{2}BF $。
(2)如图②，试猜想线段 $ BE $ 与 $ CF $ 之间的数量关系，并证明你的结论。

解：(1)①
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAD=90°，AB=AD。
∵ 线段AE与AD关于直线AP对称，
∴ AD=AE，∠DAP=∠EAP。
∵ ∠BAP=30°，
∴ ∠DAP=∠BAD - ∠BAP=60°，
∴ ∠EAP=60°，∠BAE=∠EAP - ∠BAP=30°。
∵ AB=AD=AE，
∴ △ABE是等腰三角形，
∠ABE=(180°-∠BAE)/2=(180°-30°)/2=75°，
∴ ∠ABF=180°-∠ABE=105°。
在△ABF中，∠AFE=180°-∠BAP-∠ABF=180°-30°-105°=45°。
②证明：
过点B作BG⊥AF于点G，
在Rt△ABG中，∠BAP=30°，
∴ BG=1/2 AB。
∵ ∠AFE=45°，∠BGF=90°，
∴ △BGF是等腰直角三角形，
∴ BF=√2 BG，即BG=BF/√2。
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=BC，
∴ BF/√2=1/2 BC，
∴ BC=√2 BF。
(2)猜想：BE=√2 CF，证明如下：
连接AC，取BE的中点H，连接AH，过点C作CG⊥BF于点G。
∵ AB=AE，H是BE的中点，
∴ AH⊥BE，∠BAH=1/2∠BAE。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠BAC=45°。
设∠BAP=α，则∠DAP=90°-α，
∵ AE与AD关于AP对称，
∴ ∠EAP=∠DAP=90°-α，
∴ ∠BAE=∠EAP-∠BAP=90°-2α，
∴ ∠BAH=1/2(90°-2α)=45°-α。
∵ ∠CAF=∠BAC-∠BAP=45°-α，
∴ ∠BAH=∠CAF。
在Rt△ABH中，BH=AB·sin∠BAH=AB·sin(45°-α)，
∴ BE=2BH=2AB·sin(45°-α)。
由(1)①的方法可证∠AFB=45°，
∵ CG⊥BF，
∴ △CFG是等腰直角三角形，CF=√2 CG。
∵ ∠CBG=180°-∠ABC-∠ABE=180°-90°-(180°-∠BAE)/2=45°-α，
在Rt△CBG中，CG=BC·sin∠CBG=AB·sin(45°-α)，
∴ CF=√2 AB·sin(45°-α)，
∴ BE=2AB·sin(45°-α)=√2·√2 AB·sin(45°-α)=√2 CF，
即BE=√2 CF。