1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ AC = 12 $。点 $ D $ 在线段 $ CB $ 上，以 $ CA $，$ CD $ 为边作正方形 $ ACDE $，直线 $ AB $ 与直线 $ CE $，$ DE $ 的交点分别为 $ F $，$ G $，连接 $ FD $。
(1)若 $ G $ 为 $ DE $ 的中点，求 $ BG $ 的长。
(2)若 $ DG = GF $，求 $ BC $ 的长。

解：
(1)
∵ 四边形ACDE是正方形，AC=12，
∴ AC=CD=DE=12，∠ACB=∠GDB=90°，AC//DE。
∵ G为DE的中点，
∴ DG=1/2 DE=6。
∵ AC//DE，
∴ △ACB∽△GDB，
∴ AC/DG = BC/BD，即12/6 = (12+BD)/BD，
解得BD=12。
在Rt△GDB中，由勾股定理得：
BG=√(DG²+BD²)=√(6²+12²)=6√5。
(2)
设BC=x，以C为原点，CA所在直线为y轴，CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,12)，C(0,0)，D(12,0)，E(12,12)，B(x,0)。
直线AB的解析式为y=(-12/x)t + 12，
直线CE的解析式为y=t，
联立两直线方程，解得F点坐标为(12x/(x+12), 12x/(x+12))。
将t=12代入直线AB的解析式，得G点坐标为(12, 12(x-12)/x)。
∵ DG=GF，
∴ DG²=GF²，
即[12(x-12)/x]² = (12 - 12x/(x+12))² + [12(x-12)/x - 12x/(x+12)]²。
化简得：
144(x-12)²/x² = (144/(x+12))² + (1728/(x(x+12)))²，
两边同乘x²(x+12)²，得：
144²(x-12)²(x+12)² = 144²x² + 1728²。
∵ 1728=144×12，代入得：
144²(x²-144)² = 144²(x²+144)，
两边除以144²，得：
(x²-144)² = x²+144，
展开并整理得：
x⁴-432x²=0，
x²(x²-432)=0。
∵ x＞0，
∴ x²=432，即x=12√3，
故BC=12√3。

2. 如图，在正方形 $ ABCD $ 中，$ G $ 是 $ AD $ 边上的动点，$ AE ⊥ CG $ 交 $ CG $ 的延长线于点 $ E $，$ DF ⊥ DE $ 交 $ CG $ 于点 $ F $，连接 $ BF $。
(1)若 $ DE = 2 $，求 $ EF $ 的长。
(2)若点 $ G $ 是 $ AD $ 的中点，猜想 $ BF $，$ CF $，$ DF $ 的数量关系，并说明理由。