5. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ ∠ ABC = 90° $，$ E $ 为 $ CD $ 的中点，求证 $ BE = AE $.

证明：
延长AE交BC的延长线于点F，
∵$AD// BC$，
∴$∠D=∠ECF$，$∠DAE=∠F$，
∵E为CD的中点，
∴$DE=CE$，
在$△ ADE$和$△ FCE$中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠F \\∠D=∠ECF \\DE=CE\end{array} $
∴$△ ADE≌△ FCE$（AAS），
∴$AE=FE$，即E是AF的中点，
∵$∠ABC=90°$，
∴在$Rt△ ABF$中，BE为斜边AF上的中线，
∴$BE=\frac{1}{2}AF=AE$，
即$BE=AE$。

6. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ O $ 是 $ AB $ 的中点，点 $ M $ 在 $ CD $ 上，点 $ P $ 在线段 $ AM $ 上(不与点 $ A $ 重合)，$ OP = \frac{1}{2} AB $，连接 $ CP $ 并延长交 $ AD $ 于点 $ N $.
(1) 判断 $ △ ABP $ 的形状，并说明理由.
(2) 若 $ M $ 为 $ DC $ 的中点，求证 $ PN = AN $.

(1) 解：$△ ABP$是直角三角形，理由如下：
$\because O$是$AB$的中点，
$\therefore OA=OB=\frac{1}{2}AB$，
又$\because OP=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore OA=OB=OP$，
$\therefore ∠ OAP=∠ OPA$，$∠ OBP=∠ OPB$，
$\because ∠ OAP+∠ OPA+∠ OBP+∠ OPB=180°$，
$\therefore 2(∠ OPA+∠ OPB)=180°$，
$\therefore ∠ OPA+∠ OPB=90°$，即$∠ APB=90°$，
$\therefore △ ABP$是直角三角形。
---
(2) 证明：
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB// CD$，$AB=CD$，
$\because O$是$AB$中点，$M$是$DC$中点，
$\therefore AO=\frac{1}{2}AB$，$DM=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore AO=DM$，且$AO// DM$，
$\therefore$ 四边形$AODM$是平行四边形，
$\therefore ∠ DAM=∠ OAP$，
$\because OP=\frac{1}{2}AB=OA$，
$\therefore ∠ OAP=∠ OPA$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ OAP=∠ PMC$，
$\because ∠ OPA=∠ CPM$（对顶角相等），
$\therefore ∠ PMC=∠ CPM$，
又$\because ∠ DAM=∠ OAP$，
$\therefore ∠ DAM=∠ CPM$，
$\because ∠ CPM=∠ APN$（对顶角相等），
$\therefore ∠ DAM=∠ APN$，即$∠ NAP=∠ APN$，
$\therefore PN=AN$。

7. 如图，在直角三角形 $ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 90° $，$ D $ 是 $ BC $ 上一点，连接 $ AD $，把 $ AD $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 90° $得到 $ AE $，连接 $ DE $ 交 $ AC $ 于点 $ M $.
(1) 如图①，若 $ AB = 2 $，$ ∠ C = 30° $，$ AD ⊥ BC $，求 $ CD $ 的长.
(2) 如图②，若 $ ∠ ADB = 45° $，$ N $ 为 $ ME $ 上一点，$ MN = \frac{1}{2} BC $，求证 $ AN = EN + CD $.

(1) 解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ C=30°$，$AB=2$，
$\therefore BC=2AB=4$，$∠ B=60°$，
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=1$，
$\therefore CD=BC-BD=4-1=3$。
(2) 证明：
取$BC$的中点$O$，连接$AO$，
$\because ∠ BAC=90°$，$O$为$BC$的中点，
$\therefore AO=\frac{1}{2}BC=MN$，$AO=BO$，
$\therefore ∠ OAB=∠ B$。
$\because ∠ ADB=45°$，
$\therefore ∠ BAD=180°-∠ B-∠ ADB=135°-∠ B$。
$\because AD$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$AE$，
$\therefore AE=AD$，$∠ EAD=90°$，
$\therefore ∠ EAC=∠ EAD-∠ DAC=90°-(90°-∠ BAD)=∠ BAD=135°-∠ B$。
$\because ∠ OAC=∠ BAC-∠ OAB=90°-∠ B$，
$\therefore ∠ EAO=∠ EAC-∠ OAC=135°-∠ B-(90°-∠ B)=45°$。
$\because △ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ AED=45°$，
$\therefore ∠ EAO=∠ AED$，$\therefore AO// DE$。
又$\because AO=MN$，
$\therefore$ 四边形$AOMN$是平行四边形，$\therefore AN=OM$。
$\because ∠ ADE=45°$，$∠ ADB=45°$，
$\therefore ∠ EDB=∠ ADE+∠ ADB=90°$，
$\because AO// DE$，$\therefore ∠ AOB=∠ EDB=90°$，
$\therefore △ AOB$是等腰直角三角形，$AO=BO$。
$\because ∠ OBD=45°=∠ ADB$，$\therefore BO=OD$。
$\because ∠ EAC=∠ DAB$，$AE=AD$，$∠ AED=∠ ADB=45°$，
$\therefore △ AEM≌△ ADB$（ASA），$\therefore EM=BD$。
$\because MN=AO=BO$，
$\therefore DM=EM-MN=BD-BO=BD-OD=CD$，
又$\because EN=MN$，
$\therefore OM=EN+CD$，
$\because AN=OM$，
$\therefore AN=EN+CD$。