10. 如图，点$C$在线段$AB$上，分别以$AC$，$BC$为边在$AB$同侧作正方形$ACDE$与正方形$CBFG$，连结$EC$，$FC$，$EF$。
（1）若$AC = \sqrt{7}$，$BC = \sqrt{5}$，
①求正方形$ACDE$与正方形$CBFG$的面积之和；
②求$EF$的长。
（2）若$AB = 4\sqrt{6}$，$△ ECF$的面积为18，求$EF$的长。

10. (1) ① $ 12 $ ② $ EC^{2} = AE^{2} + AC^{2} = 14 $，$ FC^{2} = BC^{2} + BF^{2} = 10 $，$ EF = \sqrt{EC^{2} + FC^{2}} = 2\sqrt{6} $。
(2) 设 $ AC = a $，$ BC = b $，由题意，得 $ a + b = 4\sqrt{6} $，$ ab = 18 $，
所以 $ EF^{2} = 2a^{2} + 2b^{2} = 2(a + b)^{2} - 4ab = 120 $，所以 $ EF = 2\sqrt{30} $。

11. 在如图$11×11$网格图中，每个小方格的边长均为1，点$A$，$B$，$C$，$D$都在格点上，且$AB = BC = 2CD = 4$。$P$是线段$BC$上的动点，连结$AP$，$DP$，设$BP = a$。
（1）用含字母$a$的代数式分别表示线段$AP$，$DP$的长，并求当$a = 2$时$AP + DP$的值。
（2）$AP + DP$是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由。
（3）根据（2）中的结论，构图求代数式$\sqrt{a^{2} + 9} + \sqrt{(3 - a)^{2} + 1}$的最小值。

11. (1) $ AP = \sqrt{a^{2} + 16} $，
$ DP = \sqrt{(4 - a)^{2} + 4} = \sqrt{a^{2} - 8a + 20} $。
当 $ a = 2 $ 时，$ AP + DP = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} $。

(2) $ AP + DP $ 存在最小值。如图，作点 $ D $ 关于 $ BC $ 的对称点 $ D_{1} $，连结 $ AD_{1} $，交 $ BC $ 于点 $ P_{1} $，此时 $ AD_{1} $ 的长即为满足条件的最小值。其最小值为 $ \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{13} $。
(3) 图略。代数式的最小值为 $ 5 $。