6. 解方程：$2x - 3\sqrt{3} = -\frac{1}{2}x + \sqrt{12}$。

6. $ x = 2\sqrt{3} $

解：$2x - 3\sqrt{3} = -\frac{1}{2}x + \sqrt{12}$
$2x + \frac{1}{2}x = 3\sqrt{3} + \sqrt{12}$
$\frac{5}{2}x = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$
$\frac{5}{2}x = 5\sqrt{3}$
$x = 2\sqrt{3}$

7. (多选题)已知$x$为实数，在“$(\sqrt{5} - 1)□ x$”的“$□$”中能找到一种运算符号(在“$+$”“$-$”“$×$”“$÷$”中选择)，使运算结果是有理数。那么下列各数中，$x$可能是()。

A.$\sqrt{5} + 1$
B.$\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$2 - \sqrt{5}$

7. ABD

A. $(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$，是有理数；
B. $(\sqrt{5}-1)-\sqrt{5}=-1$，是有理数；
D. $(\sqrt{5}-1)+(2-\sqrt{5})=1$，是有理数。
答案：ABD

8. 计算：

（1）$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{12})×\sqrt{3}}{\sqrt{6}} + \sqrt{6}$； （2）$5\sqrt{\frac{1}{5}} - 5\sqrt{\frac{4}{5}} + \sqrt{45}$。

8. (1) $ \sqrt{3} $ (2) $ 2\sqrt{5} $

解：原式$=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{3}-\sqrt{12}×\sqrt{3}}{\sqrt{6}}+\sqrt{6}$
$=\frac{\sqrt{18}-\sqrt{36}}{\sqrt{6}}+\sqrt{6}$
$=\frac{3\sqrt{2}-6}{\sqrt{6}}+\sqrt{6}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}-\frac{6}{\sqrt{6}}+\sqrt{6}$
$=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}-\frac{6\sqrt{6}}{6}+\sqrt{6}$
$=\frac{3}{\sqrt{3}}-\sqrt{6}+\sqrt{6}$
$=\sqrt{3}$

9. 设$\sqrt{5}$的小数部分为$a$，求$a(4 + a)$的值。

9. 因为 $ a $ 是 $ \sqrt{5} $ 的小数部分，所以 $ a = \sqrt{5} - 2 $。
$ a(4 + a) = (\sqrt{5} - 2)(4 + \sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = 1 $。