1. 如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，若AB=CD= $2\sqrt{7}$，则四边形EFGH的周长是。

1.4$\sqrt{7}$

证明：
∵E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线，EF是△BCD的中位线，HG是△ACD的中位线，
∴EH=$\frac{1}{2}$AB，FG=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$CD，HG=$\frac{1}{2}$CD，
∵AB=CD=$2\sqrt{7}$，
∴EH=FG=$\sqrt{7}$，EF=HG=$\sqrt{7}$，
∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+HG=$\sqrt{7}+\sqrt{7}+\sqrt{7}+\sqrt{7}=4\sqrt{7}$。
$4\sqrt{7}$

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC=3，BC=4，则EF的长为。

2.1

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，CE=$\frac{1}{2}$BC=2，DE//AB。
∴∠DFA=∠FAB。
AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DFA=∠DAF，
∴DF=AD=$\frac{3}{2}$。
EF=DE-DF=$\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
故EF的长为1。

3. 如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB=3，BC=5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为()

A.$\sqrt{\frac{34}{2}}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{34}$
D.8

3.C

证明：连接PC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠BCD=90°，BD为对角线。
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF=PC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AP=PC（矩形对角线性质），
∴AP+EF=AP+PC。
当A，P，C三点共线时，AP+PC最小，最小值为AC的长。
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。
∴AP+EF的最小值为$\sqrt{34}$。
C

4. 如图，O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG。
求证：四边形DEFG是平行四边形。

4.证明:
∵D,E,F,G分别为线段AB,OB,OC,AC的中点，
∴DG为△ABC 的中位线，EF为△OBC的中位线，
∴DG//BC,DG=$\frac{1}{2}$BC,EF//BC,EF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DG//EF,DG=EF,
∴四边形DEFG是平行四边形.

5. 如图，在△ABC中，D为边BC的中点，F为边AC上一点。过点A作AE⊥BF于点E，且AE平分∠BAC，过点E作EG//BC交于点G。
求证：四边形DEGC为平行四边形。

5.证明:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.在$\begin{cases} ∠BAE=∠FAE, \\ AE=AE, \\ ∠AEB=∠AEF=90°, \end{cases}$
∴△AEB≌△AEF(ASA),
∴BE=FE.
∵D为边BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线,
∴DE//CG.
∵EG//BC,
∴EG//DC,
∴四边形DEGC为平行四边形.